Магнітне поле у вакуумі (стр. 4 )

Виявляється, що існує взаємозв’язок і між стаціонарним магнітним та електричним полем, і зумовлений він залежністю магнітних та електричних сил від швидкості руху заряду. Коли говорять про швидкість руху, то завжди виникає питання, відносно якої системи координат вона відраховується, адже в різних системах швидкість руху заряду неоднакова. Зокрема, у системі, де заряд нерухомий, він не створює магнітного поля і на нього не впливають магнітні сили.

Розглянемо детальніше цю проблему на доволі штучній зате зручній для аналізу моделі, зображеній на рис. 4.12.1.а. Тут знаходиться провідник із струмом, на відстані від нього рухається точковий заряд із початковою швидкістю v вздовж осі ОХ лабораторної системи К. В цій системі провідник нерухомий. Нехай струм утворюється ланцюжком позитивних зарядів, кожний величиною е, і з однаковою відстанню між ними d. Для спрощення аналізу припустимо, що ці заряди рухаються з тією ж швидкістю та напрямком, що і заряд q. Нерухомі негативні заряди розміщуються з тим самим інтервалом. Струм І провідника створює магнітне поле . Врахувавши відношення еквівалентності для елемента струму , отримуємо для магнітного поля струму

. (СГС)

В лабораторній системі К на заряд q діє лише магнітна сила, спрямована до провідника, й рівна

Рис. 4.12.1. Електромагнітна взаємодія у різних інерціальних системах: а) магнітна взаємодія в лабораторній системі; б) електрична взаємодія в системі K’, зв’язаній з точковим зарядом q.

. (СГС) (4.12.1)

Тепер подумки перемістимося в систему відліку відносно якої у даний момент часу заряд q ще не рухається, рис. 12.1.б. Струм у провіднику має попередній напрямок, однак тепер він утворюється рухом негативних зарядів у протилежному напрямку із швидкістю , тоді як позитивні заряди нерухомі. Магнітне поле струму не впливає на заряд q, оскільки він у не рухається і тому не створює власного магнітного поля. Таким чином, із точки зору спостерігача, нерухомого відносно системи , магнітна взаємодія струму та заряду q відсутня.

Деякі релятивістські ефекти

Фізичні закони інваріантні відносно інерціальних систем. Для механічних процесів це твердження є очевидним, оскільки у другий закон Ньютона входить прискорення, а не швидкість тіла. З принципу відносності відомо, що сила не може зникнути при переході від однієї інерціальної системи до іншої. Водночас у ця сила не може бути магнітною. Тому залишається припустити, що вона має електричну природу. Тобто провідник із точки зору спостерігача, нерухомого в , мусить нести електричний заряд, причому негативний, оскільки заряд повинен до нього притягуватись. За домовленістю в лабораторній системі К провідник не має надлишкового електричного заряду. Враховуючи ці факти, а також інваріантність електричного заряду, ми змушені припустити, що в безмежно довгому провіднику зі струмом у системі відстань між негативними (тобто рухомими) зарядами має бути меншою ніж між позитивними (нерухомими у ) зарядами. Таке припущення забезпечить загальний негативний заряд провідника. Цю ситуацію відтворено на рис. 4.12.1.б.

З перетворень Галілея, на яких ґрунтується механіка Ньютона, такий висновок не випливає. Цю проблему було вирішено в рамках спеціальної теорії відносності (СТВ), розробленої Ейнштейном. Теорія базується на експериментально обґрунтованому висновку про інваріантність швидкості світла в різних системах відліку. Цю умову задовольняє перетворення Лоренца. Для систем K, , означених вище, перетворення Лоренца має такий вигляд:

, (4.12.2)

де використано позначення . Формули (4.12.2) відповідають випадку, коли система рухається з постійною швидкістю v у додатному напрямку осі ОХ.

Використаємо два наслідки, які випливають із перетворення Лоренца. Один із них стосується зміни розміру тіла при переході від однієї інерціальної системи до іншої. Якщо деякий предмет рухається вздовж осі ОХ із швидкістю v, то його розмір уздовж цього напрямку отримаємо, помірявши одночасно координати початку й кінця предмета, тобто . В системі , нерухомій відносно предмета, маємо . Використавши першу формулу в (4.12.2), отримуємо

(4.12.3)

Тобто при переміщенні тіла відносно спостерігача його видимий розмір d у напрямку руху зменшується, порівняно з розміром нерухомого тіла. Це так зване скорочення Лоренца має кінематичну, а не динамічну природу, тобто воно не пов’язане з деформацією тіла під дією сил.

Наступний висновок, необхідний для подальшого аналізу, стосується перетворення сили в інерціальних системах. В системі К сила визначиться формулою , де  – релятивістський імпульс. Для даної задачі актуальною є компонента сили вздовж осі ОY , тобто , де  – відповідна компонента імпульсу . Виходячи з інваріантності фізичних законів для інерціальних систем, вираз для цієї компоненти сили в системі запишеться як Взаємне переміщення систем K та відбувається вздовж осі ОХ, тому З (4.12.2) маємо , тобто зв’язок між силами в цих системах має вигляд

. (4.12.4)

В системі К поперечна компонента сили, що діє на рухоме тіло, виявилась меншою в раз ніж у системі , пов'язаній з тілом. Отже. сила виявляється неінваріантною величиною.

Тепер можна обчислити постульовану нами електричну силу, що діє на заряд у системі , врахувавши зміну масштабу при переході між цими системами. В позитивні заряди нерухомі, тоді як негативні заряди рухаються із швидкістю –v. Тому згідно з формулою (4.12.3) віддаль між сусідніми позитивними зарядами збільшиться

,

тоді як між негативними зарядами вона зменшиться порівняно з лабораторною системою

.

Таким чином, провідник виявляється зарядженим від’ємною електрикою з лінійною густиною

Однорідно заряджений лінійний провідник утворює електричне поле , тобто

. (СГС) (4.12.5)

Сила електричної взаємодії рівномірно зарядженого довгого провідника з точковим зарядом дорівнює

(СГС) (4.12.6)

Порівнюючи вираз для магнітної сили (4.12.1) та для електричної (4.12.6), бачимо, що вони відрізняються на множник

. (4.12.7)

Електрична взаємодія обчислювалась в системі , тобто , а магнітна в К, тобто . Отже, формули (4.12.7) та (4.12.4) еквівалентні. Ми отримали правильне співвідношення сил, визначених для одного і того ж процесу, адже електрична сила визначалась для нерухомого тіла, тоді як магнітна – для рухомого. Таким чином, без урахування релятивістського множника сили взаємодії виявляються однаковими, хоча в лабораторній системі маємо лише магнітну взаємодію, а в системі відліку, зв'язаній із зарядом, існує лиш електрична взаємодія. Звертає на себе увагу, що ми не мали ніякого клопоту з електродинамічною сталою с. Якщо у формулу (4.12.1) с входить як коефіцієнт пропорційності, який необхідно визначити експериментально, то у (4.12.6) він входить автоматично як результат перетворення Лоренца.

Перетворення електричного поля

Якщо сила має електричну природу, тобто , то, враховуючи формулу (4.12.7) й одночасно інваріантність електричного заряду, приходимо до висновку, що напруженість електричного поля також повинна змінюватися при переходах між інерціальними системами.

Розглянемо це питання на прикладі електричного поля, утвореного зарядом плоского конденсатора. На рис. 4.12.2 заряджений конденсатор рухається із швидкістю v вздовж осі ОХ. Дослідимо перетворення електричного поля при переході між системами К і в залежності від орієнтації конденсатора відносно напрямку його руху. На рис. 4.12.2.а електричне поле паралельне до напрямку руху. Відстань між обкладками в лабораторній системі менша ніж у нерухомому конденсаторі (див. (4.12.3)), однак це не впливає на напруженість електричного поля. Врахувавши інваріантність електричного заряду, отримуємо, що компонента електричного поля, паралельна напрямку руху заряду, не залежить од швидкості руху заряду

(4.12.8)

Рис. 4.12.2. Електричне поле рухомого конденсатора: а) поле паралельне до напрямку руху конденсатора; б) поле перпендикулярне до напрямку руху.

Розглянемо перетворення поперечної компоненти електричного поля. На рис. 4.12.2.б електричне поле перпендикулярне до напрямку руху конденсатора. Розмір обкладок у напрямку руху зменшується згідно з (4.12.3). Електричний заряд розподіляється по меншій площі, тому його поверхнева густина зростає

(4.12.9)

де  – поверхнева густина заряду нерухомого конденсатора. Напруженість однорідного поля пропорційна поверхневій густині заряду, тому поперечна компонента електричного поля заряду, що рухається, зростає порівняно з відповідною компонентою для нерухомого заряду як

(4.12.10)

Формули перетворення (4.12.8) та (4.12.10) застосовні не лише для однорідного, але і для довільного електричного поля, зокрема, для поля точкового заряду.

Про інваріантність електричної теореми Гауса

Під час аналізу властивості формули, яка описує електричну теорему Гауса

, (1.5.3)

було застережено, що, незважаючи на інваріантність величини в лівій частині формули, не можна без додаткового аналізу стверджувати, що потік Е не змінюється й у випадку, коли заряди рухаються. Формула (1.5.3) не може бути підтвердженням цієї властивості, оскільки вона отримана із закону Кулона, тобто для нерухомих зарядів. Тепер ми можемо дослідити цю властивість і для рухомих зарядів, використавши формули перетворення електричного поля для інерціальних систем (4.12.8) та (4.12.10).

Нехай електричне поле створюється точковим зарядом q. Як і раніше, заряд знаходиться у спокої в системі та рухається вздовж осі ОХ із швидкістю v відносно лабораторної системи К. В напруженість електричного поля і, згідно з (1.5.3), . Необхідно показати, що й у системі К, де заряд рухається, теж справедливе відповідне співвідношення, тобто .

Запишемо компоненти вектора , причому, враховуючи еквівалентність координат y та z, обмежимося лише компонентами поля та

, (СГС) (4.12.11)

, (4.12.12)

де ;; . Запишемо відповідні вирази для компонент Е. З формули (4.12.8) маємо , а згідно з (4.12.10) отримаємо . Щоб замінити відповідні штриховані величини на нештриховані у правих частинах (4.12.11) та (4.12.12), використаємо перетворення Лоренца (4.12.2). При цьому вважатимемо, що заряд проходить через початок координат (тобто координатні осі в К та збігаються) у момент часу . Це суттєво спрощує перетворення і ми отримуємо

(4.12.13)

де . Врахувавши, що , маємо

, (4.12.14)

де , а .

Тепер можна обчислити потік напруженості поля у системі (тобто для рухомого заряду) крізь деяку сферичну поверхню з центром, де знаходиться заряд. Маємо

, (4.12.15)

де враховано, що площа елемента сферичної поверхні . Для обчислення інтеграла зробимо заміну

, (4.12.16)

що дає

. (4.12.17)

З (4.12.16) отримуємо

,

тобто границі інтегрування .

Підставивши ці значення в (4.12.14), отримуємо

. (4.12.18)

Отже, ми отримали хоча й досить складним способом такий самий результат, як і для нерухомого заряду, засвідчуючи тим інваріантність електричної теореми Гауса.

Релятивістська інваріантність електромагнітного поля

Аналізуючи взаємодію точкового заряду та провідника із струмом, ми отримали однакові результати, незалежно від вибору систем відліку, тобто незалежно від того, чи цей рух розглядався в системі спокою провідника, чи в системі спокою точкового заряду. У першому випадку ця взаємодія була лише магнітною, тоді як в іншому електричною. В загальному випадку, коли розглядається довільна система зарядів, де кожний із них має довільну швидкість, отримаємо проміжний результат, тобто спостерігатимемо одночасно електричну та магнітну взаємодію, які лише частково перетворюються одна в іншу при переходах між інерціальними системами.

Таким чином, досить уявно перейти від одної системи координат до іншої, щоб магнітна взаємодія повністю або частково перетворилась в електричну взаємодію і, навпаки. З цього факту випливає висновок, що електричні та магнітні сили – це дві компоненти єдиного фізичного явища – електромагнітної взаємодії. Якщо поділ електромагнітної взаємодії на електричну та магнітну взаємодії залежить від точки зору спостерігача в буквальному, тобто механічному розумінні цього слова, то об'єднана електрична та магнітна, тобто електромагнітна взаємодія є релятивістськи інваріантною. Вираз релятивістська інваріантність означає інваріантність з поправкою на релятивістський множник , що є загальною закономірністю, за якою перетворюються сили в інерціальних системах.