Практикум 1. Метод Гаусса. Метод Гаусса-Жордана (стр. 2 )

Теория. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА. Пусть – интерполяционный многочлен, построенный по множеству точек , т. е удовлетворяющий условиям :. Тогда справедливо равенство

,

где – интерполяционные многочлены удовлетворяющие условиям

Многочлены можно найти по формуле

.

Интерполяционный многочлен, записанный в виде при условии , называется ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ МНОГОЧЛЕНОМ ЛАГРАНЖА. Обозначим его через . Многочлен Лагранжа может быть сразу записан в явном виде по формуле:

.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для множества точек , .

Решение. У нас . Выпишем многочлены по формуле

,

,

,

.

Замечание. Если раскрыть скобки, получим уже известный вид многочлена

.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА. Пусть – интерполяционный многочлен, построенный по множеству точек , а – многочлен, построенный по множеству точек . Они удовлетворяют условиям

.

Положим . Это многочлен степени . Можно показать, что он имеет вид

.

Значит,

.

Введём обозначение . Тогда равенство принимает вид

.

Продолжая процесс разложения правой части до конца, получим явный вид многочлена:

.

Коэффициенты последовательно находятся по формуле

.

Например, , , , , .

Многочлен называется ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ МНОГОЧЛЕНОМ НЬЮТОНА.

ПРИМЕР. Построить интерполяционный многочлен Ньютона для множества точек , .

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу , Данные и результаты вычислений заносим в таблицу. .

Записываем формулу

.

Раскрывая скобки, опять получим известный многочлен:

.

Задание. Используя данные практикума 2, получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Раскрыв скобки, убедиться, что все методы дают один и тот же многочлен.

ПРАКТИКУМ 5. КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН.

Теория. Пусть дано множество точек , причём выполняются условия , . Пусть – интерполяционная функция, т. е. функция удовлетворяющая условиям

.

Функция называется КУБИЧЕСКИМ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ СПЛАЙНОМ, если она представима в виде

,

где – кубический многочлен. Условия приобретает вид

.

Кубический сплайн используется для построения дважды дифференцируемой интерполяционной функции, что требует выполнения следующих дополнительных стыковочных условий

.

Каждый кубический многочлен определяется четырьмя коэффициентами. Для определения сплайна нужно знать коэффициентов. Система равенств содержит условий. Система содержит условия. Всего получаем условия для нахождения неизвестных. Для однозначной разрешимости задачи не хватает двух условий, о которых будет сказано ниже.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наклонами сплайна являются числа , моментами – числа , где .

Далее сетка будет предлагаться равномерной: , .

ПОСТРОЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО СПЛАЙНА ПОСРЕДСТВОМ НАКЛОНОВ. Запишем функцию в виде

.

Условия , дают

.

.

Два дополнительных условия рассмотрим в виде граничных условий

при известных . Условия и сразу добавляются к уравнениям.

Граничные условия и требуют некоторой работы, которая даёт

Учитывая и , перепишем эти равенства в виде

.

Теперь граничные условия можно записать в виде

Объединяя равенства и , получаем систему уравнений

.

ПОСТРОЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО СПЛАЙНА ПОСРЕДСТВОМ МОМЕНТОВ. Поскольку , то и, интегрируя дважды, функцию можем записать в виде

.

Справедливы равенства

и

.

Граничные условия принимают вид

Равенства и дают систему уравнений ,

ИТОГИ. Системы уравнений и решаются методом прогонки. Работая с наклонами, решаем систему и используем формулы и . Работая с моментами, решаем систему и используем формулы и .

ПРИМЕР. Аппроксимировать функцию на отрезке дважды дифференцируемым кубическим сплайном, при граничных условиях и .

РЕШЕНИЕ. Найдём узлы интерполяции:

.

Найдём ординаты функции в узлах:

.

Найдем производные:

.

Работаем с наклонами. Запишем систему

.

Далее и находим и записываем выражение для сплайна:

.

Работаем с моментами. Запишем систему

.

Далее находим и записываем выражение для сплайна:

.

Задание. Аппроксимировать функцию на отрезке дважды дифференцируемым кубическим сплайном , при граничных условиях и . Сравнить значения и в точках .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30. .

ПРАКТИКУМ 6. МЕТОД НИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Теория. Дана последовательность точек на плоскости

Предположим, что эти точки с некоторой погрешностью реализуют некоторую линейную зависимость . Например, точки являются результатом эксперимента, выявляющего зависимость величины от величины , причём эта зависимость предполагается линейной. Задача состоит в нахождении прямой , наилучшим образом описывающей всю последовательность данных точек. Корректная постановка задачи требует указания критерия, по которому выбирается наилучшая прямая. В качестве такого критерия выберем минимизацию функции . Функция является дифференцируемой по переменным и , поэтому в точке минимума должно выполняться необходимое условие . После вычисления частных производных и преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и :

,

Изложенный метод можно применить и для нахождения степенной зависимости более высокой степени, чем первая. Пусть искомая зависимость предполагается квадратичной и ищется оптимальная функция .

В качестве критерия оптимальности возьмём минимум функции . Необходимое условие экстремума имеет вид . Проведя вычисление, получим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными , и , аналогичную :

.

ПРИМЕР. Найти оптимальную прямую методом наименьших квадратов по следующим данным:

	1	2	3	4	5
	3,2	5,1	6,9	9,1	11,0

РЕШЕНИЕ. Заполним таблицу

	1	2	3	4	5	15
	3,2	5,1	6,9	9,1	11,0	35,3
	1	4	9	16	25	55
	3,2	10,2	20,7	36,4	55,0	125,5

Запишем систему уравнений : . Решим систему методом Крамера:

Искомая прямая имеет уравнение .

Задание. Найти оптимальную прямую и оптимальную параболу методом наименьших квадратов по следующим данным: ; значения ординат точек даны в таблице: в первой строке – данные для прямой, во второй – для параболы. Сделать рисунок.