Практикум 1. Метод Гаусса. Метод Гаусса-Жордана (стр. 4 )

Теория. Рассматривается– непрерывная функция , определённая на отрезке и её определённый интеграл

. Задача состоит в построении алгоритмов приближённого вычисления этого интеграла. Ниже приводятся два таких алгоритма: формула трапеций и формула парабол, которые являются частным случаем так называемой квадратурной формулы.

Пусть на отрезке дана сетка . Положим .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛОЙ для интеграла называется приближённое равенство

,

где множители не зависят от вида функции . Эти множители называются весовыми коэффициентами (весами) квадратурной формулы.

Далее будет рассматриваться, только равномерная сетка, для которой разность постоянна, т. е. не зависит от . Положим , тогда .

ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ. На отрезке функция приближается линейной функцией и полагается . Тогда получается приближённое равенство

,

которое называется ФОРМУЛОЙ ТРАПЕЦИЙ. Эта формула имеет вид , т. е. является квадратурной с весами

.

Название формулы объясняется тем, что для положительной функции интеграл , дающий площадь криволинейной трапеции, приближается площадью обычной трапеции, поскольку на промежутке график функции приближается отрезком прямой (хордой).

ОШИБКА формулы трапеций. Можно показать, что если функция дважды дифференцируема на отрезке , то справедливо неравенство

,

где – некоторая положительная константа. Неравенство , показывает, что точность приближения быстро растёт с уменьшением шага сетки . Говорят, что ошибка имеет второй порядок малости относительно шага сетки .

ФОРМУЛА ПАРАБОЛ (СИМПСОНА). Отрезок разбивается на чётное число отрезков: . На отрезках функция приближается квадратичной функцией

,

и полагается приближённое равенство . Тогда получается формула

,

которая называется ФОРМУЛОЙ ПАРАБОЛ или ФОРМУЛОЙ СИМПСОНА. Название объясняется тем, что на отрезках график функции приближается параболами. Эта формула имеет вид, т. е. является квадратурной с весами

.

ОШИБКА формулы парабол Можно показать, что если функция четырежды дифференцируема на отрезке , то справедливо неравенство

,

где – некоторая положительная константа. Здесь мы имеем ошибку четвёртого порядка малости.

ПРИМЕР. Найти по формулам трапеций и парабол приближённое значение определённого интеграла , взяв .

РЕШЕНИЕ. У нас . Вычисления удобно оформлять при помощи таблицы, данные для которой приведены ниже.

Метод трапеций		Метод парабол
0	1	1	1	0	1	1	1
1,5	1,22	2	2,44	1,5	1,22	4	4,88
2	1,41	2	2,82	2	1,41	2	2,82
2,5	1,58	2	3,16	2,5	1,58	4	6,32
3	1,73	2	3,46	3	1,73	2	3,46
3,5	1,87	2	3,74	3,5	1,87	4	7,48
4	2	1	2	4	2	1	2
			18,62					27,96

.

Задание 1. Найти по формулам трапеций и парабол приближённое значение определённого интеграла , взяв .

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. . 14. .

15. . 16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. . 22. .

23. . 24. . 25. . 26. .

27. . 28. . 29. . 30. .

Задание 2. Нарисовать фигуру, ограниченную двумя линиями и найти её площадь, используя полярные координаты и формулу

.

Значение интеграла найти приближённо по формуле Симпсона. Использовать транспортир и линейку. На практике удобно взять – это 100°, , т. е. 10°.

ПРАКТИКУМ 8. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Теория. Рассматривается непрерывная функция , определённая на некотором промежутке. Нужно найти решения (корни) уравнения

.

Ниже будут указаны два метода, позволяющие приближённо находить корни уравнения по отдельности, исходя из некоторых дополнительных условий. Причём корни могут быть найдены с любой наперёд заданной точностью.

ЛОКАЛИЗАЦИЯ Пусть – некоторое решение уравнения . Интервал называется локализацией для , если выполняются два условия:

· решение лежит в : ;

· других решений уравнения интервал не содержит.

Для того, чтобы интервал являлся локализацией достаточно выполнение пары условий

Первое обеспечивает существование корня, второе – его единственность.

Обозначим искомый корень через , а через – допустимую ошибку приближения. Если найдено число , для которого выполняется неравенство , т. е. получено приближение с нужной точностью. Положим . Мы покажем, как построить последовательность сужающихся локализаций с достижением неравенства . Тогда, если , то .

МЕТОД ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ. Предполагаем, что выполняется неравенство и нам известно, что существующий корень единствен, обозначим его через .

Положим . Возможны два случая: и . В первом случае мы нашли искомый корень: . Во втором случае знак совпадает со знаком или со знаком . Т. е. возможны два случая: 1) или 2) . В первом случае полагаем , и тогда . Во втором – полагаем , и опять . Таким образом интервал является локализацией корня, имея вдвое меньшую длину, чем . Продолжаем этот процесс, переходя от к , от к и т. д., до тех пор, пока ни выполнится неравенство . Тогда можно взять и выполняется условие .

Дадим его краткую схему метода и его графическую иллюстрацию: