Практикум 1. Метод Гаусса. Метод Гаусса-Жордана (стр. 5 )

.

.

МЕТОД ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ. Функция предполагается дважды дифференцируемой.

Предположим, что для интервала справедливы три условия

Первые два условия обеспечивают существование и единственность корня, третье – необходимо для работы метода. Напомним, что при функция вогнута, при – выпукла. Условия дают четыре возможных случая, которые показаны на рис.5.

Пусть опять . Соединим граничные точки графика отрезком прямой (хордой) и проведём касательную к графику в одной из граничных точек, выбор которой показан на рис.6 и рис.7. Пересекаясь с осью , хорда и касательная дают две новые точки и и новую локализацию корня . Указанные выше четыре случая разбиваются на две пары, для которых и выбираются по-разному.

Обозначим через абсциссы точек пересечения хорды и правой и левой касательной с осью . Для них справедливы формулы

,

.

Для левой касательной имеем , для правой – . Поэтому для левой касательной

;

для правой –

.

Мы получили новую локализацию , для которой проверяем выполнение условия . Если оно не выполняется, повторяем вычисления по предыдущим формулам, увеличив номер на единицу.

Сведём результаты в краткую схему.

ПРИМЕР. Локализовать корни уравнения и построить для их нахождения вычислительный процесс по методу деления отрезка пополам и методу хорд и касательных.

РЕШЕНИЕ. Пусть . Найдём локализации корней:

.

Корни существуют на интервалах и . Найдём производную: . Очевидно, и . Далее работаем с промежутками отдельно.

1) . Существует единственный корень. а) Метод деления отрезка. . Вычисляем и : , . Значит, и вычисляем , и т. д. б) Метод хорд и касательных. Найдём вторую производную: . Имеем ; , . Касательная проводится справа. Вычисляем и по формулам: ,

.

Получили . Переходим к вычислению по тем же формулам.

2) . Существует единственный корень. а) Метод деления отрезка. , . Вычисляем и : , . Значит, и вычисляем , и т. д. б) Метод хорд и касательных. Найдём вторую производную: . Имеем ; , . Касательная проводится слева. Вычисляем и по формулам: ,

.

Получили . Переходим к вычислению по тем же формулам.

Задания. Локализовать корни кубического уравнения и найти их с точностью . Левый и правый корень найти методом хорд и касательных, средний – делением отрезка пополам.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. . 26. . 27. .

28. . 29. . 30. .

ПРАКТИКУМ 9. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

Теория. СТЕПЕННЫМ РЯДОМ называется ряд вида

.

Существует неотрицательное число , для которого ряд сходится абсолютно при , т. е. при , и расходится при . Число называется радиусом сходимости, а интервал – интервалом сходимости. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать в пределах интервала сходимости, справедливы равенства

,

.

Использование степенных рядов опирается на разложение бесконечно дифференцируемых функций в РЯДЫ МАКЛОРЕНА. Формула разложения функции в ряд Маклорена имеет вид

Укажем несколько важных разложений.

,

,

,

,

,

. .

РЯД ЛЕЙБНИЦА. Числовой ряд называется рядом Лейбница, если он удовлетворяет следующим трём условиям:

· ряд является знакочередующимся, т. е. соседние члены ряда имеют противоположные знаки;

· ;

· .

Ряд Лейбница сходится и справедливо неравенство

,

где – сумма ряда, – частичная сумма ряда.

Неравенство позволяет оценить погрешность приближённого равенства . Если , то .

ПРИМЕР 1. Найти число точностью . Здесь , . РЕШЕНИЕ. По формуле

Это ряд Лейбница.

.

Достаточно оставить 7 членов ряда и отбросить члены начиная с :

.

Замечание. Погрешность приближённого равенства на самом деле меньше чем .

ПРИМЕР 2. Найти , .

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой . Но сначала нужно найти , для которого . Тогда и

Это знакоположительный ряд: , что усложняет оценку точности. Запишем остаток ряда: . Заметим, что и . Поэтому

В скобках стоит сумма бесконечной геометрической прогрессии, найдём её:

. Потому и неравенство вытекает из неравенств

.

Достаточно взять :

.

ПРИМЕР 3 Найти , . Воспользуемся формулой

.

Сначала найдём , для которого . Тогда

Это знакоположительный ряд: , что усложняет оценку точности. Запишем остаток ряда: . Заметим, что и . Поэтому

В скобках стоит сумма бесконечной геометрической прогрессии, найдём её:

. Потому и неравенство вытекает из неравенств

.

Достаточно взять .

ДЛЯ БОЛЕЕ БЫСТРОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ можно поступить следующим образом. Запишем искомый логарифм в виде суммы: . Выше мы, вычисляя , при сделали бы ошибку . Достаточно найти с точностью . Найдём с этой точностью. .

и .

Тогда и достаточно взять .

ПРИМЕР 4. Вычислить значение интеграла с точностью .

РЕШЕНИЕ. Здесь удобно сначала сделать замену:

.

Тогда

.

Применим формулу :

Далее почленно интегрируем и получаем ряд Лейбница. Заметим, что второе слагаемое даст и этот логарифм тоже вычисляется при помощи разложения в ряд (он вычислялся выше – пример 2).

Задание 1. Вычислить значение интеграла при помощи рядов Маклорена с точностью .

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. . 10. . 11. .

12 . 13. . 14. . 15. . 16. .

17. . 18. . 19. . 20. .

21. . 22. . 23. . 24. .

25. . 26. . 27. . 28. . 29. . 30 .

Задание 2. Вычислить значение логарифма при помощи ряда Маклорена с точностью . Рекомендация: используя формулу , выделить , например, .

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 7. . 6. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. .

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 7. . 6. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. .

ПРАКТИКУМ 10. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

СЕТКОЙ на отрезке называется последовательность точек , определяемая условием . Точки называются узлами сетки. Если , то сетка называется равномерной. Для равномерной сетки , где – шаг сетки.

СЕТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ называется функция, областью определения которой является сетка . Сеточная функция полностью определяется своими значениями в узлах сетки, т. е. последовательностью . Если функция , определёна на отрезке и – сетка на , то функция порождает сеточную функцию , которую можно рассматривать как приближённое описание функции .

Пусть является решением некоторого дифференциального уравнения (ДУ) на отрезке и , – порождённая ею сеточная функция. Задача численного решения ДУ состоит в построении сеточной функции , являющейся приближением для с контролируемой точностью приближения. С этой целью мы заменим дифференциальное уравнение на систему уравнений, неизвестными которой являются значения искомой сеточной функции . Такая система уравнения называется разностной схемой исходного ДУ, а переход от ДУ к разностной схеме называется АППРОКСИМАЦИЕЙ (приближением) уравнения. Поскольку для единственности решения ДУ требуется добавление начальных условий, то начальные условия также подлежат аппроксимации. Напомним, что задача, состоящая из ДУ и начальных условий называется ЗАЛАЧЕЙ КОШИ.

АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ. Построение аппроксимационных формул будет проводиться при помощи формулы ТЕЙЛОРА. Справедливы равенства

, .

.

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Задача Коши для ДУ 1-го имеет вид

1) МЕТОД ЭЙЛЕРА. Для его построения используется первая из формул . Схема метода Эйлера имеет вид

2) МЕТОД ЭЙЛЕРА С УТОЧНЕНИЕМ. Для его построения используется вторая из формул . Схема метода Эйлера с уточнением имеет вид

Разностная схема имеет первый порядок аппроксимации, а схема – второй порядок. Это определяется порядком отброшенного члена в равенствах .

Если рассматривается задача Коши для СИСТЕМЫ ДУ первого порядка, то схемы и дословно воспроизводятся. Рассмотрим систему из двух уравнений. Задача Коши имеет вид

.

Схема метода Эйлера имеет вид

.

Схема метода Эйлера с уточнением имеет вид

ПРИМЕР. Сделать один шаг метода Эйлера и метода Эйлера с уточнением для задачи Коши при .

РЕШЕНИЕ. Здесь . 1) По схеме . Вычисляем:

.

2) По схеме . Вычисляем:

Задание. Решить задачу Коши в явном виде и численным образом, сделав десять шагов метода Эйлера и метода Эйлера с уточнением при . Получить сеточную функцию явного решения и сравнить сеточные функции явного и численного решения.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 14. . 15. .

25. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

ПРАКИКУМ 11. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Задача Коши для уравнения второго порядка имеет вид

.

Замена , сводит задачу к задаче

,

которая является задачей Коши для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Для этой задачи можно записать разностную схему , имеющую первый порядок аппроксимации, или , имеющую второй порядок аппроксимации. Схема здесь принимает вид

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Линейное ДУ II-го порядка определяется как уравнение

.

Поэтому задача Коши принимает вид уравнения вместе с начальными условиями

.

Построение разностной схемы требует разностной аппроксимации уравнения и граничных условий. Для разностной аппроксимации уравнения используется равенство и получается формула

,

которая имеет второй порядок аппроксимации. Первое из начальных условий аппроксимируется точно (без ошибки): . Из второго начального условия получается формула

,

дающая второй порядок аппроксимации.

Сведя вместе равенства , и, получим разностную схему для задачи Коши , :

.

Для практического счёта её нужно преобразовать. Выразим из второго равенства , из третьего и получи простой вычислительный алгоритм:

позволяющий последовательно найти все значения .

ПРИМЕР. Сделать шаг вычислений по схеме для задачи Коши при .

РЕШЕНИЕ. Здесь , . Вычисляем:

.

Задание. Решить задачу Коши в явном виде и численным образом, сделав десять шагов метода при . Получить сеточную функцию явного решения и сравнить сеточные функции явного и численного решения.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.