Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Кафедра математики

Методические рекомендации по изучению дисциплины

по дисциплине Алгебра

для студентов специальности 5В060200 «Информатика»

Составитель :

д. п.н., профессор ПГУ

Павлодар

Методические рекомендации по изучению дисциплины «Алгебра»

Цели: Формирование алгебраической, важнейших составляющих общей математической культуры, необходимой для понимания методики современной математики и путей построения математических моделей для решения прикладных задач.

Задачи курса:

1. формирование устойчивых навыков и умений работы с числовыми полями, матрицами, определителями, векторными пространствами.

2. Освоение методов исследования систем линейных уравнений и алгоритмов их решения.

3. Изучение координатного метода, как основы абстракции пространственных представлений.

4. Формирование навыков и умений применения аппарата векторной и матричной алгебры для выявления возможностей задания и взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

5. Изучение Евклидовых и унитарных пространств и алгебры их линейных операторов.

1. Решим методом Гаусса систему линейных уравнений, найдем общее решение и одно частное решение:

Так как последовательный процесс исключения переменных предполагает работу с коэффициентами уравнении и их свободными членами, то вместо данной системы рассмотрим расширенную матрицу и вместо работы с уравнениями будем работать со строками этой матрицы.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для того чтобы исключить переменную из всех уравнений кроме 1-го, желательно в левом верхнем углу этой матрицы иметь 1 (иначе непосредственное применение алгоритма исключения приведёт к работе с рациональными числами, действия с которыми сложнее, чем с целыми числами). Для этого 2-ю строку полученной матрицы умножим на (-1) и прибавим к 1-й, т. е., в результате этого вспомогательного шага работы, мы получим новую расширенную матрицу, к которой уже и будет применён алгоритм исключения .

Далее аналогичную цепочку преобразований применим к расширенной матрицы, выделенной пунктиром.

Предварительно строки этой матрицы умножим на

т. е. исходная матрица свелась к трапецоидальному виду:

(*)

следовательно данная система уравнений имеет бесконечно много решений. Переменные и , коэффициенты 1 и 4 при которых занимают «угловые позиции», выбираем в качестве основных; переменные объявляем свободными.

Расширенная матрица (*) приводит к системе

из которой основные переменные и выражаются (последовательно) через свободные .

Из 2-го уравнения этой системы сразу получаем: .

Подставляя полученное выражение для в 1-е уравнение, будем иметь:

Таким образом, общее решение данной системы имеет вид:

(**)

Для того, чтобы получить одно из частных решений исходной системы, свободных переменным придаём некоторые конкретные значения и затем из (**) вычисляем значения основным переменных.

Пусть, например, тогда:

т. е. - одно из частных решений.

Проверка:

2. Найдём фундаментальную систему решений следующей системы линейных однородных уравнений:

Применяя метод последовательного исключения переменных, получаем:

Для получения 1 в левом верхнем углу матрицы, выделений пунктиром, 1-ую строку этой матрицы умножаем на 5 и затем прибавляем к полученной строке 2-ую её строку, умноженную на (-3).

Для получения 1 в левом верхнем углу матрицы, выделенной пунктиром к 1-й её строке, умноженной на (-3), прибавим 2-ую её строку.

т. е. система свелась трапецоидальному виду:

(*)

В качестве основных переменных берём переменная будет свободной.

Матрица (*) приводит к системе:

Из этой системы, поднимаясь снизу вверх, последовательно находим , т. е. общее решение исходной системе имеет вид:

(**)

Решение показывает, что r(A)= r = 4; n=5; т. е. число векторов в фундаментальной системе решений будет равно: n-r =1.

Таким образом, фундаментальная система решений будет иметь вид:

Ненулевой вектор был получен, как частное решение системы, исходя из общего решения (**) при Обозначая через W-подпространство решений данной системы уравнений, получаем, что W= и Dim W=1.На этом решение завершается.

Отметим, что если бы вместо матрицы (*) мы получили бы матрицу (решая, естественно, другую систему)

то в качестве основных переменных были бы выбраны а в качестве свободных Общее решение тогда имело бы вид:

Так как, в этом случае, r(A) = r = 3; n=5, то число векторов в фундаментальной системе решений было бы равно: n-r = 2.

Таким образом, фундаментальная система решений тогда имела бы вид:

Линейно независимые векторы

и здесь получаются как два частных решения системы, исходя из общего решения при значениях: 1) и 2) свободных переменных соответственно. Таким образом, в этом случае, мы получили бы в качестве подпространства W решений: , причем Dim W=2.

3. Пусть задана система линейных однородных уравнений:

(*)

и пусть W – подпространство её решений. Найдем размерность и базис ортогонального дополнения к подпространству .

Если r ранг основной матрицы этой системы, то

Найдём

т. е. и, следовательно, любое решения системы (*), то равенство показывает, что:

Так как , то в качестве базиса подпространства можно взять векторы (определитель .

4. Подберём число таким образом, чтобы векторы были ортогональны.

Для этого нужно, чтобы Отсюда получаем уравнение относительно

5. Проверим, что система векторов

ортогональна и дополним её до ортогонального базиса.

Действительно: Т. к. - ортогональная система ненулевых векторов, то она линейно независима, т. е. Найдём нулевой вектор ортогональный и к , т. е. такой, что Записывая систему в координатной форме, получим

Общее решение этой системы уравнений имеет вид:

полагая получаем частное решение , которое и берём в качестве вектора

Аналогично из системы:

, т. е. из системы

находим ненулевое решение .

Система является ортогональной системой ненулевых векторов, т. е. ортогональным базисом пространства

6. Пусть . Проверим, что эти векторы линейно независимы. Применяя процесс ортогонализации к этим векторам построим ортонормированный базис.

т. е.

Следовательно, - базис Применяя процесс ортогонализации к векторам , получим:

Отсюда:

Отсюда: От полученной ортогональной системы векторов , путём нормирования каждого её вектора, переходим к ортонормированному базису :

7. Пусть

Найдём ортогональную проекцию вектора на подпространство и его ортогональную состовляющую .

Предварительно найдём

т. е.

и так как то векторы состовляют базис . Так как то . Пусть . Тогда , т. е.

Общая система решений этой системы линейных однородных уравнений имеет вид: , т. е. фундаментальной системой решений будет:

Следовательно, в качестве базиса подпространства можно взять векторы

Тогда - базис всего пространства . Найдём так, чтобы (*) , (т. е. найдём координаты вектора в базисе ).

Расписывая равенство (*) в координатной форме, получим:

Решая эту систему получим, что

Проверка:

1. Вычислим А*В-В*А для матриц:

и .

Так как А и В - квадратные матрицы одного и того же порядка n=4, то оба произведения А*В и В*А определены. Применяя правило умножения матриц, получаем:

1-й столбец произведения А*В; 2-й столбец произведения А*В

3-й столбец произведения А*В 4-й столбец произведения А*В

Аналогично:A*B=

Отсюда А * В – В * А =

2. Пусть

А = .

Найдём ранг матрицы А двумя способами.

a). Найдем ранг r(A) матрицы А методом элементарных преобразований. В индивидуальном задании № 1 (задача 3) нахождение ранга конечной системы векторов сводилась к нахождению ранга матрицы методом элементарных преобразований. Аналогичным образом находим ранг матрицы А

т. е. r (A) = 2

b). Найдем ранг r(A) матрицы А методом окаймления миноров:

Порядок минора , отличного от 0, равен 2.Так как все миноры 3-го порядка (в данном случае их шесть), окаймляющие минор , равны 0, то r(A)=2.

3. Пусть

d =

Вычислим d, разлагая его по 3-му столбцу:

4. Докажем равенство:

используя свойства определителей.

При вычислении определителя проводились следующие равносильные преобразования:

1. 1-й столбец, умноженный на (-1), прибавлялся к 2-му столбцу;

a). 1-й столбец, умноженный на (-1), прибавлялся к 3-му столбцу;

b). общий множитель (в-а) элементов 2-го столбца выносился за знак определителя;

c). общий множитель (с-а) элементов 3-го столбца выносился за знак определителя;

2. Полученный определитель раскладывался по элементам 1-й строки.

3. Вычислялся определитель 2-го порядка, полученной после преобразования (III).

a). производились равносильные преобразование полученных алгебраических выражений.

5. Пусть

Найдем матрицу, обратную к матрице А, двумя способами.

a). Найдём методом элементарных преобразований. Для этого к матрице А приписываем единичную матрицу Е того же самого порядка (в данном случае, 3-го) и над строками полученной расширенной матрицы осуществляем элементарные преобразования таким образом, чтобы на месте матрицы А получилась матрица Е. Тогда на месте матрицы Е (в расширенной матрице) получится матрица .

а 1. Поступая аналогично тому, как это делалось при решении систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных, преобразовываем матрицу (А/E) так чтобы на месте матрицы А получилась треугольная матрица вида:

Для этого в левом углу матрицы (А/E) удобно иметь 1. Для её получения к 1-ой строке этой матрицы прибавим 3-го строку умноженную на (-4) и далее приступим к процессу исключения:

а 2. Далее, поднимаясь снизу вверх, приводим, полученную матрицу , к такому виду, чтобы на месте матрицы получилась единичная матрица:

таким образом,

Проверка:

Таким образом: Аналогичным образом проверяется, что

b). Найдём методом присоединённой матрицы, т. е. используя формулу: , где и А* - присоединённая к А, матрица, т. е. матрица построенная из алгебраических дополнений элементов матрицы :

Таким образом: Найдём d.

Отсюда:

6. Решим матричное уравнение

Предварительно решим это уравнение в общем виде.

Если для А существует обратная матрица то обе части уравнения (*) умножим на слева и, используя свойства умножения матриц, получим:

, т. е. .

Решим уравнение вида:

В задаче 5. этого индивидуального задания для матрицы была найдена матрица таким образом

7. Решим методом Крамера систему линейных уравнений:

Согласно формулам Крамера: где d – определитель матрицы данной системы:

а определитель - это определитель матрицы , полученной из матрицы А путём замены столбца столбцом свободных членов.

Аналогично получаем:

Отсюда т. е. - единственное решение данной системы.

Проверка:

8. Исследуем на совместность систему уравнений:

Приведем её к системе крамеровского вида и решим её методом обратной матрицы.

Согласно критерия совместности Кронекера-Капелли; система линейных уравнений совместна тогда и только тогда когда Ранги и найдём методом элементарных преобразований.

т. е.

Так как , то исходная система совместна. Минор 2-го порядка, составленный из коэффициентов при 1-ых 2-х уравнений:

, т. е. переменные можно взять в качестве основных, а переменные в качестве свободных. Так как 3-е и 4-е уравнение данной системы линейно выражается через первые два уравнения, то эта система равносильна системе:

крамеровского вида. Запишем эту систему в матричном виде и решим её методом обратной матрицы.

отсюда:

Отметим, что матрица имеет размерность (21), т. е. – это матрица-столбец.

Отсюда:

Таким образом, общее решение данной системы имеет вид:

(*)

Найдём одно из частных решений: положим .

Тогда из (*) получаем:,т. е. - частное решение данной системы.

Проверка:

(Так 3-е и 4-е уравнения выражаются через 1-е и 2-е, то дальнейшая проверка не обязательна)

Отметим, что общим решением системы линейных однородных управлений:

(**),

т. е. системы, ассоциированной с данной, является:

и, следовательно, фундаментальной системой решений для системы (**) будет:

т. е. векторы т. е. образуют базис подпространства W решений системы (**). Таким образом, и линейное многообразие - является многообразие всех решений данной системы линейных неоднородных управлений.

9. Пусть

Найдём координаты вектора в том же базисе, в котором заданы координаты вектора а и матрица оператора .

10. Пусть линейный оператор в базисе имеет матрицу

Найдём матрицу этого оператора в базисе , где

Если - искомая матрица линейного оператора в базисе , то ,где Т – матрица перехода от базиса к базису , т. е.

Находим .

Отсюда:

т. е.

11. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей.

Для нахождения собственных значений оператора решаем уравнение:

т. е.

Для нахождения собственных векторов ,соответствующих собственному значению , находим ненулевые решения системы, матричная запись которая имеет вид:

, где

В координатной форме это уравнение запишется так:

Находя общее решение этой системы, получим:

Пусть

Таким образом, общий вид собственного вектора, относящегося к собственному значению будет: где .

Проверка:

В рассмотренном примере число собственных значений оказалось равно 1. В общем случае, число различных действительных собственных значений , n – размерность арифметического п - мерного пространства.

Если, к примеру, , то уравнение имеет три действительных корня , т. е. для нахождения собственных векторов, относящихся к собственному значению , нужно найти ненулевые решения системы ; для - системы ; для - системы . Решая эти системы, находим соответственно:

Проверка в каждом из этих трёх случаев проводится также, как и выше. Отметим так же, что фундаментальная система решений, получаемой системы линейных однородных уравнений, состояла из одного вектора. В общем случае число таких векторов .

Например, если , то уравнение имеет вид:

. Это уравнение имеет один действительный корень

Решая систему, , получаем общее решение этой системы: , т. е. фундаментальная система решений будет иметь вид:

Отсюда следует, что любая ненулевая линейная комбинация векторов фундаментальной системы будет собственным вектором линейного оператора :

, где - любые, одновременно не равные нулю действительные числа.

Проверка:

«Поле комплексных чисел»

1. Выполняем вычисление, используя правила выполнения действий над комплексными числами, заданным в алгебраической форме.·

2. Найдем х и у, считая их действительными .

Так как x и y – действительные числа, то раскрывая скобки, получаем:

Выделяя действительную часть и коэффициент при i слева, получаем:

Используя условие равенства двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, получаем:

Решая эту систему, получаем:

3. Найдем тригонометрическую форму данного комплексного числа:

;

Так как cos>0; sin<0, то угол принадлежит 4-ой четверти, т. е.

Рис. 1.

Отсюда (см. рис. 1.): .

4. Вычислим

Пусть . Найдём тригонометрическую форму чисел

и :

Используя правила действий деления и извлечения корня 6-й степени для комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, получаем:

Отсюда:

5. Найдем геометрическое место точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству: .

Пусть .

Тогда т. е. получаем неравенство:

Множество точек, соответствующим комплексным числам , удовлетворяющих полученном неравенству, даёт круг с центром в точке

радиуса 5.

(см. рис. 2.)

Подпись: 0

Подпись: -2

рис.2.

6. Выразим cos4x через cosx и sinx.

Положим Найдём двумя способами:

1. Применяя формулу Муавра;

2. Применяя формулу бинома Ньютона.

Отсюда:

Приравнивая действительные части, получаем:

7. Представим в виде многочлена 1-й степени от тригонометрических углов, кратных х.

Положим Тогда, по формуле Муавра:

Отсюда:

Таким образом: для любого

, т. е. при k=1, получаем: Отсюда:

Применяя формулу бинома Ньютона, получаем:

Отсюда:

8. Решим данные уравнения 3-ей и 4-ой степени.

Решим уравнение:

Находим

Заметим, что т. е. в качестве и можно взять, соответственно, и

Отсюда:

Решим уравнение:

Решение это уравнение способом Феррари.

(т. е. переносим в правую часть, с противоположным знаком, слагаемые 2-й, 1-й и 0-й степеней относительно ).

(т. е. в левой части выделяем полный квадрат, вводя дополнительно параметр y. В правую часть добавляем те слагаемые, которые добавишь в левую за счёт выделения полного квадрата.)

Подберём теперь параметр у так, чтобы в правой части так же был полный квадрат. Для этого необходимо и достаточно, чтобы т. е. т. е. можно взять Таким образом, получаем: