Реферат циклу наукових праць на тему “Тополого-комбінаторні дослідження у теорії напівгруп” (стр. 2 )

Т. О Банах та досліджували -замкнені парато­по­ло­гіч­ні групи, тобто такі, що є замкненими підгрупами у будь-якій паратопо­ло­гіч­ній групі, яка їх містить. Ви­яв­ляється, що у абельовому випадку ці групи тіс­но пов'язані з мінімальними то­по­ло­гіч­ни­ми групами. Зокрема, тех­ніка до­слідження їх близька до тоієї, що використовується при до­ве­денні кла­сич­ної теореми Про­данова та Стоянова про повну об­ме­же­ність мінімальних абе­льових груп. Для випадку абе­льо­вої топологічної групи отримано на­ступ­ний критерій -замкненості: абельова то­по­ло­гіч­на група є -зам­кнена у класі па­ра­то­по­ло­гіч­них груп тоді і тільки то­ді коли повна за Рай­ко­вим та для довільної (гаус­дорфової) гру­по­вої топо­ло­гії на , фак­тор-група є пе­рі­о­дич­ною, де є по­пов­нення за Рай­ковим групи . З цього випливає, що поповнення за Рай­ко­вим ізо­мор­фного ущіль­нен­ня -замкненої абельової топологічної гру­пи є -зам­кненою то­по­­ло­гіч­ною гру­пою. Також доведено наступні достатні умови -замкненості групи:

1. Нехай – повна за Райковим топологічна група, а – її -зам­кне­на у класі па­ра­то­по­ло­гічних груп підгрупа. Якщо група має скінченну експоненту, то є -зам­кненою гру­пою у класі паратопологічних груп.

2. Нехай – паратопологічна група і – компактна нормальна під­гру­па групи . Якщо гру­па – -замкнена, то група – теж -зам­­кне­на.

3. Нехай є абельовою паратопологічною групою. Якщо – -замкнена, то і – -замкнена. Якщо – -замкнена та – повна за Райковим, то – -замкнена.

Доведено, що замкнена підгрупа -замкненої абельової групи є -зам­кнена.

Отримано наступні результати про будову -замкнених абельових то­по­логічних груп:

1. Нехай – -замкнена абельова топологічна група. Тоді – компакт, і для кож­ного околу нуля в існує натуральне таке, що .

2. Подільна абельова -замкнена топологічна група – компактна.

3. Довільна -замкнена абельова топологічна група є об'єднанням ком­пактних груп.

сформулював наступну гіпотезу: абельова топологічна група є -зам­кненою тоді і тільки тоді, коли – повна за Райковим і група є цілком обмежена для деякого на­ту­раль­ного . У частковому ви­­падку, вдалося отримати підтвердження цієї гіпотези. А саме, до­ве­де­но, що гіпотеза Банаха справджується, якщо топологічна група задо­воль­няє наступні умови:

1. Існує -компактна підгрупа групи така, що група – пері­о­дич­на.

2. Існує групова топологія на групі така, що поповнення за Райковим групи є берівським простором.

також досліджувалося питання про послаблення топо­ло­гії на па­ра­то­по­ло­гіч­ній групі до гаусдорфової групової. Нагадаємо, що на­ступна проблема досі від­кри­та: чи довільна гаус­дорфова кільцева то­по­ло­гія на тілі може бути послабленою до гаус­дор­фової тілової то­по­ло­гії? Це зу­мовило питання І. Й. Гурана: чи кожна гаусдорфова то­по­логія па­ра­то­по­ло­гiчної групи мо­же бути послаблена до гаусдорфової групової то­по­ло­гії? доведено, що довільна га­ус­дорфова кільцева SІN-топологія на тілі мо­же бути послаблена до гаусдорфової тілової SІN-то­пології. Також по­будованo приклад па­ра­топологічної групи з нульвимірною гаусдорфовою то­по­логією, яка не може бути по­слаб­лена до гаусдорфової групової то­по­ло­гії, що дає відповідь на про­блему, яка була ві­дома в літературі з середини 80-х років. Крім цього, доведено, що кожна па­ра­топологічна SІN-група є па­ра­топологічною LSІN-групою. Навпаки, кожна ліво-прекомпактна па­­ра­то­по­логічна LSІN-група є пара­то­по­ло­гіч­ною SІN-групою. Показано, що клас па­ра­то­по­ло­гіч­них -осцилюючих груп містить всі топологічні групи, всі па­ратопологічні LSІN-групи і всі на­си­чені паратопологічні групи.

Окремі проблеми комбінаторики.

У цій частині циклу ­ським узагальнюються та розв’язуются проблеми з ком­бі­на­то­ри­ки та ком­бі­наторної геометрії, які викликали інтерес у багатьох дослідників.

Гра Штейнгауза. Г. Штейнгауз у книзі “Сто задач” розглядає гру ді­лення торта. ­ським узагальнено цю гру на -вимірний випадок, до­ведено (з використанням теореми Хелі), що при довільній формі тор­та пер­ший гравець може отримати не менш ніж торта, та запро­по­­но­ва­но фо­рму торта, для якої другий гравець може отримати принаймні тор­та. Цим от­римане уза­гальнення та посилення результатів для плос­кого випадку, наведених у книзі Штейнгауза.

Розбиття напівгруп на множини, які мають певні властивості. Ця те­ма­тика пов’язана з ро­бо­тами І. Протасова. Показано, що для до­віль­но­го не­скінченого кардинала і довільного роз­бит­тя напівгрупи відо­бра­жень на частин, існує елемент розбиття, лівий зсув якого спів­па­дає з усі­єю на­півгрупою.

Комбінаторика слів. отримана проста формула для зна­ходження най­мен­шого чи­сла такого, що кожне бінарне слово дов­жи­ни розбивається на па­ліндромів. Та­кож знайдена оцінка середньої кіль­кості паліндромів, на які можна роз­би­ти випадково вибране бі­нарне сло­во довжини . Крім того, запропонована нова міра аси­мет­рії бінарного сло­ва та знай­де­ні оцінки максимального значення цієї міри на множині слів довжини , з яких випливає від­по­відь на запитання І. Протасова.

Криві в опуклих тілах. Якщо – опуклі тіла на площині, то пе­риметр не пе­ре­ви­щує периметру . Отримано наступне узагальнення цього відомого факта. Нехай – опукле компактне тіло на площині пе­ри­мет­ру , діаметру та є цілим числом. Не­хай є най­мен­шим числом та­ким, що для будь-якої кривої, яка міститься в та дов­жи­на якої є більша за , іс­нує пряма, яка перетинає цю криву принаймні в різній точ­ці. Тоді для парного та для непарного . Також показано, що для гомеоморфної колу підмножини пло­щини наступні умови еквi­ва­лен­тні:

o Множина є границею строго опуклого тіла.

o Довiльна пряма перетинає не більше ніж у двох точках.

o Довiльна пряма перетинає не більше ніж у трьох точках.

Розбиття множини на однотипні підмножини. Це питання розгляд­далося багатьма ав­то­ра­ми (зокрема, Б. Ван дер Варденом, Г. Хад­вi­ге­ром, В. Маслюченком) з різними під­хо­дами до по­нят­тя однотипної мно­жи­ни.

В. Маслюченко, В. Михайлюк i М. Попов довели, що невироджений від­різок чи­сло­вої пря­мої може бути розбитий на дві подібні і гомеоморфнi час­тини, i сформулювали ряд пи­тань про іс­ну­вання розбиттів такого роду для більшої кількості частин. Відповіді на ці пи­тання було от­ри­ма­но С. Бу­­ка­таром, В. Гульчаком, В. Маслюченком, В. Стираном та В. Фі­сю­ком. Зо­кре­ма, С. Бука­та­ром, В. Маслюченком та В. Стираном показано, що не­ви­род­жений відрізок може бути розбитий на гомеоморфних і подібних між со­бою частин.

поставлене і частково розв’язане питання про роз­бит­тя до­вільної від­кри­тої мно­жини в просторі на гомеоморфних ча­стин, а та­кож досліджувалося пи­тан­ня про роз­бит­тя підмножин на кон­гру­ентні ча­сти­ни. Показано, що довільна під­множина дійсної пря­мої, яка не має ізо­льованих точок, може бути розбита на гоме­о­мор­фних ча­стин, якщо . Доведено, що довільна відкрита непорожня підмножина про­стору може бути розбита на частин гомеоморфних простору , якщо або та (заува­жи­мо, що при доведенні останньої частини твер­джен­ня суттєво використовується Теорема про 4 ко­льо­ри). Ви­ко­рис­то­ву­ючи інший підхід, можна отримати розбиття на мен­шу кількість частин. А саме, довільна відкрита не­по­рож­ня підмножина про­стору , може бути розбитою на го­мео­морфних частин, якщо .

Також показано, що жодна компактна опукла підмножина простору не може бу­ти роз­би­тою на дві конгруентні частини. Навіть часткові ви­пад­ки цього твердження не­од­но­разово ста­вали об’єктом уваги мате­ма­ти­ків. Б. Ван дер Варден поставив питання про роз­биття круга на дві кон­­гру­ен­тні час­тини. Д. Пуппе довів це твердження для компактних опу­клих під­­мно­жин пло­щи­ни, границя яких не містить вiдрiзкiв. Г. Хадвiгер та Г. Де­брун­нер довели це твердження для всіх ком­пактних опуклих під­мно­жин пло­щи­ни.

Топологічні напівгрупи матричних одиниць і –розши­рен­ня Бранд­та топологічних напівгруп.

Тополого-алгебраїчні властивості на­пів­групи матричних одиниць. Од­не з цен­траль­них місць в у теорії напівгруп і теорії то­по­ло­гіч­них на­пів­груп зай­має біцикліч­на напівгрупа. Ще в часи ста­­нов­лення ал­геб­ра­їч­ної те­о­рії напівгруп О. Ан­дерсен довів, що (-) проста на­пів­гру­па є ціл­ком (-) про­с­тою тоді й лише то­ді, коли вона не містить біциклічну напівгрупу. Використовуючи біциклічні роз­ширення напівгруп, у 1958 р. Р. Брак по­ка­зав, що кож­на на­півгрупа ізо­мор­фно за­ну­­рюється у просту напівгрупу і в 1960 р. Н. Рейлі опи­сав струк­туру бі­прос­тих та простих -ре­гу­­лярних на­пів­груп. Л. Ан­дерсон, Р. Гантер і Р. Кох по­ка­зали, що біцик­ліч­на напівгрупа не за­ну­рю­ється у ком­пак­тну топологічну напівгрупу. К. Ебер­харт і Дж. Сел­ден до­ве­ли, що на бі­цик­ліч­ній на­півгрупі іс­нує лише ди­скрет­на на­пів­групова га­ус­дор­фова топологія та опи­сали за­микання бі­цик­ліч­ної на­пів­гру­пи як під­на­пів­гру­пи локально ком­пак­тної то­по­ло­гічної ін­вер­сної напівгрупи. М. Бер­тман і Т. Вест по­ка­за­ли, що на біцик­лічній на­пів­групі, як на напів­то­пологічній, існує ли­ше дис­кретна гаус­дор­фова то­по­ло­гія. Певним “орто­го­наль­ним” аналогом бі­цик­лічної напівгрупи є не­­скін­чен­на на­пів­група матричних оди­ниць. Тому при­род­но ви­ни­кло питання: чи не­скінченна на­пів­група матричних оди­ниць має топологічні вла­сти­вос­ті подібні до бі­цик­ліч­ної на­півгрупи?