Реферат циклу наукових праць на тему “Тополого-комбінаторні дослідження у теорії напівгруп” (стр. 1 )

РЕФЕРАТ

циклу наукових праць на тему

Поняття топологічної напівгрупи виникло у результаті об’єд­нання по­нять напівгрупи і то­по­ло­гічного простору. Дослідження по­діб­них то­по­ло­го-алгебраїчних об'єктів сягає у 1826 рік, до пра­ці Н.-Х. Абе­ля. У наш час, топологічні напівгрупи, зокрема, топологічні групи, мають за­сто­су­ван­ня у різних галузях математики (зокрема, у топологічній алгебрі, ал­геб­рі, функціональному ана­лізі, комбінаториці та ін.) і фізики.

Комбінаторика – галузь математики, яка вивчає комбінації та пере­ста­новки пре­дме­тів, ви­ник­ла в у XVII ст. Зараз комбінаторні методи засто­со­вуються у теорії випадкових про­цесів, ста­тис­ти­ці, математичному про­гра­муванні, обчислювальній математиці і т. д. У ма­тематиці ком­бі­на­то­ри­ка використовується при вивченні скінченних геометрій, ком­бі­на­тор­ної ге­ометрії, теорії пред­став­лень груп, неасоціативних алгебр і т. д.

В наш час відбувається взаєпроникнення таких галузей математики, як алгебра, топо­ло­гічна ал­гебра та комбінаторика. Це дозволяє отримати глибокі результати в у кожній з них, що зайвий ще раз де­мон­струє цілісність математики. Опубліковано декілька монографій, в яких використаний такий під­хід: Ж. Лаллемент “Напівгрупи та застосування в ком­бі­на­то­риці”, Р. Ліндон, П. Шупп “Ком­бі­на­торна теорія груп”, І. Протасов “Комбінаторика чи­сел” та “Методи лінійної алгебри в ком­бі­на­то­риці”. Також зараз цією тематикою зай­ма­ють­ся такі вчені як В. Бергельсон (США), Н. Гайдмен (США), Є. Зеленюк (Україна-ПАР), С. Феррі (Італія-Великобританія-Колумбія), Д. Штраус (Ан­глія) та багато інших.

Метою циклу наукових праць кандидата фізико-математичних наук, викладача ка­фед­ри ал­геб­ри та геометрії Прикарпатського національного університету імені Василя Сте­фа­ника Гав­рил­кі­ва Володимира Михайловича, кандидата фізико-математичних наук, нау­кового співробітника ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН Укра­ї­ни Павлик Катерини Пи­ли­півни та кандидата фізико-ма­те­матичних наук, на­у­ко­во­го співробітника ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України Рав­сько­го Олек­сандра Віталійовича, висунутого на здо­буття щорічної пре­мії Пре­зидента України для молодих учених за 2010 рік, є вивчення вла­сти­вос­тей (право)топологічних напівгруп і, зо­кре­ма, пара­то­пологічних груп, їх струк­тури та неперервності алгебраїчних операцій, а також на­пів­груп гіперпросторів вклю­чен­ня та максимальних зчеплених систем на дискретних напівгрупах і гру­пах, нескінченних топо­логічних на­пів­груп матричних одиниць та топологічних -розширень Бранд­та топо­ло­гічних на­півгруп методами топологічної алгебри та комбінаторної теорії груп. Крім цього, авторами узагальнюються та ро­зв’язуються і окремі проблеми ком­бінаторики та ком­бі­наторної геометрії.

До циклу наукових праць входять 24 статті у фахових виданнях та 30 пу­блікацій у мате­ріалах ма­тематичних конференцій, опублікованих колективом авторів у період з 1999 по 2008 2009 роки (січень). З них 2 4 статті у міжнародних журналах з ненульовим імпакт-фактором, а саме Studia Sci. Math. Hungarica (H index = 10), і Semigroup Forum (H index = 14), “Journal of Auto­ma­ta, Languages and Combinatorics”. Загальна кількість реферованих пу­блікацій, рівна дорівнює 20 (згідно з Math. Review), зокрема у міжнародних журналах, що містяться в у ба­зі даних SCOPUS, загальний ідентифікатор SJR (SCImago Journal Rank), рівна 2.

Результати отримані в у роботі доповідалися та обговорювалися на багатьох між­на­род­них і все­українських конференціях, школах та семінарах. Зокрема, на літній школі «За­галь­на алгебра та впо­рядковані множини» (Радейов, Чеська Республіка, 2006); зимовій школі з аб­страктного аналізу (то­по­логічна частина) в у Чеській Республіці (Гейніце, січень 2008 р.); кон­ференції "Теорія мно­жин, топологія та банахові простори" в у Республіці Польща (Кельце, 7-11 липня 2008 р.); VI літній школі "Теорія множин і нескінченна ком­бі­на­то­ри­ка" в у Республіці Польща (Тереміскі, 23-30 серпня 2008 р.) та ін.

Тополого-алгебраїчні властивості паратопологічних груп.

 В. Рав­ського у даній частині циклу присвячені, переважно, вивченню вла­сти­вос­тей груп, наділених топологією. Ним досліджуються загальні вла­сти­вості таких груп, їх будова, кар­динальні інваріанти, взаємозв’язки між гру­по­вими та напівгруповими то­пологіями на групі, умо­ви, за яких опе­рації множення і інверсії на цих групах є не­пе­рер­вними. О. В. Рав­ським отри­мані відповіді на питання, поставлені відомими спе­ці­а­ліс­та­ми з то­по­логічної алгеб­ри (наприклад, І. Гу­раном, Г.-П. Кюнці, Є. Рєз­ні­чен­ком) та уза­галь­нен­ня відомих теорем (зокрема, результатів Р. Ел­ліса). Його дослідження у да­ній час­ти­ні циклу проводяться, в основному, мето­да­ми то­по­ло­гіч­ної алгебри та ком­бінаторної тео­рії груп.

При дослідженні загальних властивостей паратопологічних та напів­то­пологічних груп, зо­кре­ма, розглянуто поведінку цих груп відносно стан­дарт­них операцій: множення, взяття підгруп, не­перервних гомоморфізмів та ін. Досліджено спільні властивості пара­то­по­логічних та топо­ло­гіч­них груп. Проаналізовано властивості паратопологічних груп з різ­ними аксі­о­ма­ми відокремлення. Зо­крема, доведено, що довільна насичена парато­по­ло­гіч­на група є квазі-регулярною. Вста­нов­ле­но залежності між різними то­­пологіями на групі. Розглянуто паратопологічна паратопологічні групи гомео­мор­фіз­мів то­по­логічних просторів, що наді­лені set-set топологією. І. Й. Гуран сфор­му­лю­вав наступне за­пи­тання: чи кожна берівська регу­лярна паратопологічна гру­па є насиченою? по­бу­до­вано приклад нуль­ви­мірної гаус­дор­фової берівської паратопологiчної групи з першою ак­сі­о­мою злі­чен­нос­ті, яка не є насиченою. Побудовано приклад, який дає негативну від­по­відь на запи­тан­ня Є. Рєзніченко: чи можна довільну гаусдорфову пара­то­по­ло­гічну групу вкласти в добу­ток парато­по­ло­гічн­их груп, де топологія, дискретна і – то­по­ло­гічна група?

Досліджено деякі кардинальні інваріанти напівтопологічних та пара­то­по­ло­гіч­них груп. До­ве­дено деякі відомі нерівності між кардинальними ін­варіантами топо­ло­гіч­них груп також і для ви­падку паратопологічних груп. Наприклад, для топологічної гру­пи справ­джується нерівність . Вдалося отримати нас­туп­не уза­галь­нен­ня цього фак­ту для па­ра­то­по­ло­гіч­них груп: нехай – пара­топо­ло­гічна SІN-гру­па. Тоді . І. Й. Гу­ран сформулював наступне пи­тан­­ня: нехай – пара­топологічна група і (відповідно ). Чи є група -пре­ком­пак­тною? О. В. Равським побу­до­ва­ний приклад нульви­мір­ної гаусдорфової паратопологiчної групи з пер­шою аксіомою злі­ченності такої, що і , але група не є -пре­ком­пак­тною. Також доведено, що для кож­ної паратопо­ло­гiч­ної групи .

Досліджено питання метризовності паратопологічних груп. Марін та Ро­магуера до­ве­ли, що паратопологічна група є квазі-метризовною ліво-ін­ва­ріантною квазі-мет­ри­кою тоді і тільки тоді, коли має зліченний ха­рак­тер. Доведено наступний аналог цього твер­дження для квазі-мет­ри­зов­ності двосторонньо-інваріантною квазі-метрикою: па­ра­то­по­логічна група є квазі-мет­ри­зовною двосторонньо-інваріантною квазі-метрикою тоді і тіль­ки тоді, коли група має злі­чен­ний характер та є SІN-групою. Також до­ве­дено, що кожна паратопологічна група, мет­ри­зов­на ліво-інваріантною мет­рикою, є топологічною гру­пою, і наведено прик­лад метризовної пара­то­по­ло­гічної групи, яка не є топологічною групою.

При певних умовах на топологічний простір паратопологiчної групи, ос­тання є то­по­ло­гіч­ною групою. Аналогічну властивість мають і на­пів­то­по­логічні групи. У 1985 році Пфі­стер за­пи­тав: чи кожна повна за Чехом на­пів­топологічна група є топологічною гру­пою? Близько 1996 року Боузіад от­римав позитивну відповідь на запитання Пфістера. Для цього йому було до­статньо до­вес­ти, що кожна повна за Чехом напівтопологічна група є па­ра­то­пологiчною групою, бо раніше Бранд довів, що кожна повна за Чехом па­ра­то­по­ло­гіч­на група є топологічною групою. Також слід від­мітити, що, крім вищезгаданих авторів, ба­гато інших дослідників вивчали умови, при яких на­пів­топологічна група є то­по­ло­гіч­ною групою, серед них: Бокало, Гу­ран, Као, Кендеров, Кортезов, Кюнці, Лоусон, Морс, На­міока, Пьот­ров­ський, Рєзніченко, Ромагуера, Сомасундаранам, Тро­ул­лік, Хансел, Хел­мер та інші. Кількість результатів, які відносяться до цієї проб­леми, по­стій­но зростає.

отримані нові достатні умови, за яких пара­то­по­ло­гіч­на група є топо­ло­гічною гру­пою. Побудовані приклади, які вказують на не­об­­хід­ність цих умов для пев­них класів топо­ло­гіч­них просторів. Зо­кре­ма, до­ве­дено наступні твердження.

1. Паратопологічна група є топологічною групою тоді і тільки тоді, коли для до­віль­ного око­лу одиниці .

2. Нехай – паратопологічна група, така, що для довільного околу оди­ниці існує на­ту­раль­не число таке, що . Тоді – то­пологічна група.

3. Нехай – паратопологічна група і – нормальна підгрупа групи . Якщо та – топологічні групи, то – теж топологічна група.

Класична теорема Елліса стверджує, що довільна локально ком­пак­тна ре­гулярна па­ра­то­по­ло­гічна група є топологічною групою. ­ським от­римане узагаль­нення цього фак­ту, а саме, до­ве­дено, що довільна ло­каль­но компактна парато­пологічна група є топо­ло­гічною групою.

І. Й. Гуран сформулював задачу: чи кожна берівська регулярна напів­то­пологічна група злі­чен­ного характеру є паратопологічною групою? побудовано прик­лад берівської ціл­ком регулярної напів­то­по­логічної групи зліченного характеру, яка не є паратопологічною гру­пою.

Кюнці, Ромагуера та Сіпачева сформулювали наступне запитання: нехай – пара­то­по­ло­гічна група і існує непорожня відкрита наслідково ліво-пре­компактна множина . Чи є топологічною групою? Кюнці, Рома­гуера та Сіпачева отримали по­зи­тив­ну відповідь на це пи­тання у ви­пад­ку регулярної групи . по­бу­до­ва­ний приклад, який дає не­га­тивну від­повідь на це питання і отримане наступне посилення ре­зуль­та­ту Кюнці, Ромагуери та Сі­па­че­вої: нехай – па­ра­то­пологічна група і іс­нує не­порожня відкрита множина така, що – наслідково ліво-пре­ком­пактна. Тоді – топологічна група.

доведено, що довільна ліво-прекомпактна пара­то­по­ло­гіч­на група, яка є -про­стором для деякого натурального , є топо­ло­гіч­ною групою. Отже, довільна злі­чен­но-ком­пак­тна -прекомпактна парато­по­ло­гічна група є топологічною групою. Також по­будовано прик­ла­ди фун­кці­о­наль­но-гаусдорфової псевдо-компактної паратопологічної гру­пи з пер­шою ак­сіо­мою злі­ченності, яка не є топологічною групою. При припущенні ак­сі­оми Мартіна, обмеженої на злі­чен­ні класи, побудовано приклад гаус­дор­фо­вої зліченно-ком­пактної паратопологічної групи, яка не є то­по­ло­гіч­ною гру­пою. Цей приклад дає від­по­відь на два запитання І. Гурана та на запи­тан­ня, по­ставлене О. Алас та М. Санчіс, при вище­вка­за­ному аксіо­ма­тич­ному припущенні.