Реферат циклу наукових праць на тему “Тополого-комбінаторні дослідження у теорії напівгруп” (стр. 3 )

У працях досліджуються то­по­ло­гічні влас­тивості на­пів­групи матричних оди­ниць як напівтопологічної на­пів­гру­пи, а також існування то­по­логічних за­ну­рень не­скін­чен­них топологічних на­пів­груп матричних одиниць у ком­пактні то­по­ло­гіч­ні на­пів­гру­пи; вив­чаються на­пів­групові топологізації не­скін­ченної напівгрупи матричних одиниць. Зо­кре­ма, от­ри­мано аналог теореми Бертман–Веста про те, що кожна гаус­дор­фо­ва топологія на бі­цик­ліч­ній на­півгрупі, яка перетворює її у на­пів­топологічну, є дис­крет­ною для не­скін­чен­ної на­півгрупи мат­рич­них одиниць.

і показали, що біциклічна напівгрупа занурюється у ком­пак­тні на­пів­топологічні на­пів­гру­пи. побудувала на нескінчен­ній на­півгрупі мат­рич­них оди­ниць тополо­гію ком­пак­тної на­пів­то­по­ло­гіч­ної інверсної напів­гру­пи та описала усі компактні, злі­ченно-ком­пактні, дискретно псевдоком­пак­тні та псев­докомпактні топо­ло­гії на не­скін­чен­ній на­пів­групі матричних одиниць та­кі, що перетворюють її у на­пів­то­по­ло­гіч­ну напівгрупу.

Оскільки на біциклічній напівгрупі існує лише дискретна напів­гру­по­ва то­по­ло­гія, то на ній не існує ком­пак­тних напівгрупових топологій. Ана­ло­гічний ре­зуль­тат отри­мано і для не­скін­чен­ної напівгрупи мат­ричних оди­ниць, а саме: на нескінченній на­півгрупі мат­рич­них оди­­ниць не існує псевдоком­пак­тної на­пів­гру­пової то­по­ло­гії. Крім то­го, до­ведено, що довільний не­перервний го­мо­морфізм нескінченної то­по­ло­гіч­ної на­пів­гру­пи матричних одиниць у ком­пак­тну топологічну на­пів­гру­пу є ану­лю­ючим.

Нескінченна напівгрупа матричних одиниць виявилась цікавим об’єктом до­слід­жен­ня. Ос­кіль­ки питання про визначення класів напівгруп, які занурюються або не за­ну­рю­ють­ся у ком­пак­тні на­півгрупи було актуальним завжди, то природно було б дослідити, чи за­нурюється топологічна на­півгрупа матричних одиниць у зліченно компактні, від­по­від­но, псевдо компактні топологічні на­півгрупи. У 2009 році вийшла публікація у спів­ав­тор­стві з , у якій доведено, що не­скін­ченна напівгрупа матричних одиниць не за­нурюється ні у зліченно компактну топологічну на­пів­групу, ні у тТихоновську то­по­ло­гіч­ну напівгрупу з псевдо-компактним квадратом. Крім того, на­пів­група матричних одиниць ін­тер­претується як симетрична інверсна напівгрупа скінченних пе­ретворень рангу 1. Як виявилося, деякі з результатів отриманих для нескінченних напівгруп мат­ричних оди­ниць можна продовжити для скінченних симетричних інверсних напівгруп об­ме­же­но­го ран­гу. На жаль, ця публікація не може бути включена до цього циклу праць.

У алгебраїчній теорії напівгруп важливу роль відіграють прості на­пів­гру­пи. Ві­до­мі різні кон­струк­ції за­ну­рен­ня напівгруп у прості, зокрема, кон­струк­ція Брака за­ну­рен­ня до­віль­ної на­півгрупи у просту напівгрупу з оди­ни­цею. У 1997 році Р. Уорн по­бу­дував кон­струк­цію бі­цик­ліч­неого роз­ши­рен­ня довільної напів­гру­пи, і довів, що на­пів­гру­па ізо­мор­фна бі­цик­ліч­но­му роз­ши­рен­ню скін­чен­ного ланцюга груп тоді і тільки тоді, коли во­на є прос­тою правою -на­півгрупою. Частковим ви­­пад­ком бі­цик­ліч­ного роз­ши­рен­ня є роз­ши­рен­ня Брака-Рей­лі, за до­по­мо­гою яко­го описано певні кла­­си простих та бі­прос­тих -на­пів­груп.

У своїх найновіших дослідженнях, розглядає роз­ши­рен­ня Брака-Рейлі мо­ноїда . У ви­род­же­но­му випадку, коли , роз­ши­рення Брака-Рейлі є бі­цик­ліч­ною на­пів­­групою. У більш за­галь­ному випадку, коли –‑ група і – до­віль­ний ен­до­мор­фізм гру­пи , напівгрупа є бі­прос­тою -регу­ляр­ною на­пів­гру­пою. ­лик досліджує на­пів­гру­пову топологізацію розширення Брака-Рейлі топологічних на­півгруп. Пока­зано, що для кожної то­пологічної напівгрупи така топологізація існує, і от­ри­мано умови, за яких така топо­ло­гі­за­ція на­півгрупи єдина, а саме, є так зва­ною топологією прямої суми.

Основи компактифікацій Бора тополого-алгебраїчних об’єктів були зак­ла­дені Г. Бором у 1925 р. Вивченню ком­пак­тифікацій Бора присвячено багато робіт, зокрема, вивчалися компак­ти­фі­кації Бора деяких класів напівгруп Лі, описано Борівські компактифікації щільних по­діль­них іде­алів топологічних напівгруп, біциклічної напівгрупи та цілком простих топологічних на­пів­груп. У 60-их р. ХХ ст. К. де Ліув та І. Гліксберг ввели ком­­пак­ти­фікації Бора для топологічних і на­пів­топологічних напівгруп. ­лик показала, що ком­пак­ти­фікація Бора нескінченної топо­ло­­гіч­ної напів­гру­пи мат­ричних оди­ниць є тривіальною.

Мінімальні топологічні групи були введені у 70-их роках XX-го сто­літ­тя не­за­леж­но Д. Дойт­чіновим і Р. Стефенсоном по аналогії до міні­маль­них то­по­ло­гіч­них про­сторів. Раніше, у 50-их ро­ках, мі­ні­маль­ність у кіль­цях з по­діль­нос­тя­ми вивчав Л. Нахбін, і у топологічних ал­геб­рах Б. Ба­на­шев­ський.

Існують напівгрупи з мі­ні­маль­ними на­пів­гру­по­ви­ми то­по­логіями, жодна з яких не є найслабшою на­пів­груповою га­ус­дор­фо­вою. При­род­но виникло наступне питання, яке поставив : чи для довільного не­скін­чен­ного кардинала іс­нує мі­ні­мальна (інверсна) на­пів­гру­по­ва топологія на на­пів­групі мат­рич­них оди­ниць?

У працях на напів­гру­пі мат­ричних одиниць побудовані дві мінімальні на­пів­гру­пові топології та мі­ні­маль­ну напівгрупова інверсна топологію, та доведено, що для всіх цих то­пологій на­пів­група мат­ричних одиниць є аб­со­лютно -зам­кне­ною.

Топологічні -розширення Брандта топологічних напівгруп. Пи­тан­­ня про –зам­кне­ність є кла­­сич­ним в у то­по­ло­гіч­ній алгебрі. У 20-их ро­ках XX-го століття та ­сон ввели по­нят­тя -зам­кне­ного простору і вка­за­ли критерій -замкненості топологічних про­с­т­о­рів. У 1946 р. Д. А. Райков довів критерій -зам­кне­нос­ті то­по­ло­гіч­них груп. У 1969 р. Дж. Степп показав, що кож­на ло­каль­но компактна то­по­ло­гічна на­пів­гру­па є щіль­ною під­на­пів­гру­пою де­я­кої -зам­кне­ної топо­ло­гічної на­півгрупи, а в 2003 р. та ­ський вка­зали дос­тат­ні умо­ви -зам­кне­ності абельової то­по­логічної гру­пи в класі пара­то­по­ло­гіч­них груп.

У 1940 р. М. Катетов показав, що ко­жен -зам­кне­ний прос­тір є аб­со­лют­но -зам­кне­ним. Але у категоріях топологічних груп, то­пологічних ін­вер­сних на­півгруп та топо­ло­гіч­них напівгруп іс­нують -замкнені не аб­со­лютно -зам­кне­ні об’єк­ти. Питання про те, ко­ли топологічна група є аб­солютно -зам­кне­ною до цього часу не роз­в’язане пов­ністю. У 1998 р. Д. Дікранян та В. Ус­пен­ський по­ка­за­ли, що аб­со­лют­на -зам­кне­ність в кла­сі то­по­логічних груп збе­рігається де­кар­то­­ви­ми до­бут­ка­ми та зам­кне­ни­ми цен­траль­ними під­гру­пами. Дж. Степп знай­шов кри­те­рій аб­со­лют­­ної -зам­кненості дискретних напівгра­ток і сформулював питання: “чи кож­на -зам­кнена то­пологічна напівгратка є абсолютно -зам­кне­ною?”, яке є досі відкритим.

Оскільки критерію -замкненості чи абсолютної -замкненості то­по­ло­гіч­них напівгруп не знайдено, то актуальним є відшукання тополого-алгебраїчних роз­ши­ре­нь то­по­ло­гічних на­пів­груп, які збе­рігають -зам­кне­ніс­ть та аб­со­лют­ну -зам­кненість.

Конструкція –розширення Брандта є узагальненням групоїдів Бранд­та, запо­чат­ко­ва­них ним у 1927 р. У 2001 р. ік побудував ал­ге­бра­їч­не -розширення Брандта до­вільної на­пів­гру­пи. З метою побудови кон­струк­цій, що зберігають -зам­кне­ність та аб­со­лютну -зам­кне­ність, ­лик ввела його топо­ло­гіч­ний аналог. Слід зауважити, що поняття -роз­ши­реннями Бранд­та є узагальненням поняттяпевним розширенням напівгрупи матричних одиниць. Вона до­слідила збереження -зам­­кненості топо­логічними -роз­ши­реннями Брандта то­по­ло­гіч­них на­пів­груп і довела, що то­по­логічне -роз­ши­рен­ня Брандта топологічної на­пів­групи збе­рігає -замкненість та аб­со­лют­ну -зам­кненість у класі то­по­ло­гіч­них інверсних на­пів­груп. Для довільного нес­кін­чен­ного кар­ди­нала побудовано на­пів­гру­пові то­по­ло­гії на ‑роз­ширеннях Бран­дта то­по­ло­гіч­них напівгруп, що зберігають (аб­со­лют­ну) ‑зам­кне­ність.

У 20-их роках XX-го століття описав структуру скін­чен­них прос­тих на­пів­груп. Д. Ріс уза­гальнив теорему Сушкевича і описав ціл­ком прості на­пів­гру­пи за допомогою мат­рич­них на­пів­гру­п Ріса над групою з регу­ляр­ною сендвіч-матрицею . ­­лес довів топологічний аналог тео­ре­ми Ріса-Суш­кевича для ком­пак­тних простих то­по­ло­гіч­­них напівгруп. -де-Мі­ранда до­ве­ла, що до­віль­на -проста компактна топологічна на­півгрупа є ціл­ком -прос­тою. А. Г. Кліфорд описав структуру цілком-простих інверсних груп. показав, що локально-компактна цілком прос­та то­по­ло­гіч­на на­півгрупа, має бу­до­ву подібну до будови компактних прос­тих то­по­ло­гічних на­пів­груп. При­род­но пос­тає задача: опи­сати структуру компактних -прос­тих то­по­ло­гіч­них ін­вер­сних на­пів­груп.

отримує структурну те­о­ре­му для компактних -простих топо­логічних ін­вер­сних напівгруп. Також, знайдено опис компактних кон­гру­енц-простих топологічних ін­версних на­півгруп з нулем, а саме, пока­за­но, що кожна така на­півгрупа, що містить біль­ше ніж два елементи, ізо­мор­фна скінченній напівгрупі матричних одиниць. Як про­дов­ження цих досліджень, у 2008 р. було встановлено (може, краще написати “знайдено”. Хоча, це глибоке філософське питання) структуру примітивних злі­ченно компактних топологічних при­мітивних інверсних напівгруп.

Отримані результати також тісно пов’язані з таким питанням: коли фак­тор-на­півгрупа Ріса то­по­ло­гічної напівгрупи з фактор-топологією є то­по­ло­гіч­ною напів­групою? Пи­тан­ня про те, коли фак­тор-напівгрупа Ріса топо­ло­гічної напівгрупи по зам­кне­но­му іде­алу є то­по­ло­гіч­ною на­пів­гру­пою розглядалось багатьма спеціалістами. Так, зокрема, довів, що відповідь на це пи­тання є позитивним для замкненого ідеалу компактної топо­ло­гічної напів­групи. У 1971 р. Дж. Лоусон та В. Медісон узагальнили його ре­зуль­тат на ло­каль­но ком­пактні -компактні то­по­ло­гічні на­пів­гру­пи. О. Гутік зауважив, що відповідь є позитивною також для ком­пак­тного іде­алу, а О. Гринів показала, що результати Лоусона та Медісона не по­ши­рюються на ло­кально ком­пак­тні топологічні напівгрупи.

За своїми топологічними властивостями -замкнені та абсолютно -зам­кнені то­пологічні на­півгрупи близькі до компактних топологічних напівгруп. Тому виникло пи­тання: чи фактор-на­півгрупа Ріса абсолютно -замкненої топологічної напівгрупи по абсолютно -замкненому іде­алу є топологічною напівгрупою?

За допомогою топологічного -розширення Брандта топологічної напівгрупи по­будувала приклад зліченної абсолютно ‑замкненої -вимірної метризовної інверсної то­по­ло­гічної напівгрупи з абсолютно ‑замкненим ідеалом такої, що фак­тор-напівгрупа Ріса цієї напівгрупи по цьому ідеалу з фактор-топологією не є топо­логічною напівгрупою.