Поряд з 
–розширенням Брандта, бувло побудованийе його аналог узагальнення ‑ – 
–-розширення Брандта топологічних напівгруп та досліджено його властивості та топологізації. Нею описана загальна структура зліченно компактних –розширень Брандта топологічних моноїдів загалом та показано, що зліченно компакнті -розширення Брандта мають категорнеий описання. На жаль, ці результати також опубліковані зовсім недавно і теж не можуть бути включеними до цієї роботи.
Суперрозширення дискретних топологічних напівгруп та груп.
Гаврилківа у даній частині циклу присвячені, переважно, вивченню алгебраїчних та топологічних властивостей напівгруп гіперпросторів включення та максимальних зчеплених систем на дискретних напівгрупах і групах.
Ним досліджуються загальні властивості таких напівгруп, їх структура, взаємозв’язки між внутрішніми ґратковими структурами та напівгруповими операціями, питання метризовності даних напівгруп. В. М. Гаврилківим отримані відповіді на питання, поставлені відомими спеціалістами з топологічної алгебри (наприклад, І. Протасовим, Н. Гайдменом) та узагальнення відомих теорем. Його дослідження у даній частині циклу проводяться, в основному, методами теорії груп та напівгруп, теорії правотопологічних напівгруп, p-адичного аналізу, теорії категорій, функторів і монад, загальної топології, комбінаторними та тополого-алгебраїчними методами.
Метод ультрафільтрів є одним з найпотужніших інструментів у сучасній комбінаториці чисел. Визначальним є той факт, що кожна напівгрупова операція, визначена на дискретному просторі 
, продовжується до правотопологічної напівгрупової операції на 
, – компактифікації Стоуна-Чеха простору . Наділена продовженою операцією, компактифікація Стоуна-Чеха перетворюється на компактну гаусдорфову правотопологічну напівгрупу. Оскільки напівгрупа компактна, то вона містить ідемпотенти, мінімальні (ліві) ідеали, і т. д., існування яких має важливі комбінаторні застосування.
Дослідженням проблем комбінаторики з допомогою ультрафільтрів займаються такі всесвітньо відомі математики як І. Протасов, Є. Зеленюк, Н. Гайдмен, Д. Штраус, С. Феррі та багато інших.
Проте метод ультрафільтрів має свої обмеженнямежі і не може бути застосований до певних проблем комбінаторики чисел. І. В. Протасов висунув припущення, що деякі такі проблеми можуть розв'язуватись за допомогою максимальних зчеплених систем.
Компактифікацію Стоуна-Чеха можна розглядати як підмножину другої степінь-множини 
. Степінь-множина 
є повною дистрибутивною ґраткою по відношенню до операцій перетину і об'єднання. Найменша повна підґратка ґратки , що містить , збігається з простором 
гіперпросторів включення, котрий є добре вивченим об'єктом категорної топології. ів довів, що асоціативна бінарна операція, визначена на дискретному просторі X, продовжується не тільки на , але також і на найменшу повну підґратку 
, породжену множиною , а також вивчив алгебраїчну та алгебро-топологічну структуру одержаних напівгруп і взаємозв'язок продовженої операції з ґратковою структурою простору . Виявилося, що наділений продовженою операцією, простір гіперпросторів включення є суперкомпактною правотопологічною напівгрупою, що містить як замкнену піднапівгрупу. Крім , напівгрупа містить багато інших важливих підпросторів ув якості замкнених піднапівгруп: максимальних зчеплених систем (суперрозширення) 
простору , простір 
-зчеплених гіперпросторів включення, простір 
фільтрів на (який містить ізоморфну копію глобальної напівгрупи 
напівгрупи ), і т. д.
Мотивацією для вивчення алгебраїчних і комбінаторних властивостей напівгрупи максимальних зчеплених систем бувстав той факт, що для кожної максимальної зчепленої системи 
на і кожного розбиття 
множини на дві підмножини 
, і 
, одна з них належить . Це дає можливість застосовувати максимальні зчеплені системи в комбінаториці чисел і теорії Рамсея. Дослідження алгебраїчних структур на суперрозширеннях та просторах гіперпросторів включення проливає світло на деякі відомі проблеми комбінаторики, що не розв'язуються з допомогою ультрафільтрів. Зокрема, це стосуєтьcя проблеми Овінґса про існування нескінченної одноколірної множини виду 
у довільному двоколірному розфарбуванні натурального ряду. В. М. Гаврилківим доведено, що позитивна відповідь на питання, поставлене Овінґсом, рівносильна існуванню спеціального типу максимальних зчеплених систем. А на це питання можна дати відповідь, вивчаючи структуру напівгруп .
В. М. Гаврилківим описано мінімальні (ліві) ідеали, топологічні та алгебраїчні центри, скоротні справа (зліва) елементи, праві (ліві) нулі, та умови комутативніостьі напівгруп гіперпросторів включення та максимальних зчеплених систем. Зокрема доведено, що множина 
всіх інваріантних гіперпросторів включення є замкненою в , є напівгрупою правих нулів напівгрупи і замкненою повною підґраткою ґратки , яка інваріантна відносно трансверсалі. Більше того, якщо є непорожньою, то вона є мінімальним ідеалом напівгрупи . Множина є непорожньою за умови, що для кожних 
рівняння 
має розв'язок 
. Доведено, що мінімальні ліві ідеали напівгрупи 
топологічно ізоморфні мінімальним лівим ідеалам напівгрупи 
, де 
— група цілих 
-адичних чисел, і, отже, є компактними метризовними топологічними напівгрупами. Важливим результатом є також теорема, яка стверджує, що група 
є непарною тоді і тільки тоді, коли всі мінімальні ліві ідеали напівгрупи є одноточковими множинами. В У цьому випадку, мінімальний ідеал 
напівгрупи є замкненою напівгрупою правих нулів, що містить всі інваріантні максимальні зчеплені системи.
Встановлено, що гіперпростір включення 
є правим нулем в тоді і тільки тоді, коли 
є інваріантним в . Аналогічно показано, що максимальна зчеплена система є правим нулем в тоді і тільки тоді, коли вона є інваріантною в . Доведено, що група містить максимальну інваріантну зчеплену систему тоді і тільки тоді, коли кожен елемент групи має непарний порядок. Ситуація з (лівими) нулями є дещо іншою: максимальна зчеплена система 
є лівим нулем в тоді і тільки тоді, коли 
є нулем в тоді і тільки тоді, коли є єдиною інваріантною максимальною зчепленою системою на . Напівгрупа має (лівий) нуль тоді і тільки тоді, коли є скінченною групою непарного порядку 
(рівносильно, є ізоморфною до циклічної групи 
, 
чи 
). Напівгрупа 
є комутативною тоді і тільки тоді, коли група має скінченний порядок 
.
Важливими результатами іва є повне описанння скоротних зліва елементів напівгрупи , а також виявлення її нетривіальних скоротних справа елементів. Зокрема, для групи отримано наступні результати. Гіперпростір включення 
є скоротним зліва в напівгрупі тоді і тільки тоді, коли 
є головним ультрафільтром. Гіперпростір включення є скоротним справа в , за умови, що існує така сім'я множин 
, що 
для довільних різних елементів 
. Показано, що для довільної зліченної групи , напівгрупа 
містить відкриту всюди щільну підмножину скоротних справа вільних гіперпросторів включення. Аналогічні результати мають місце також для напівгрупи .
Описано топологічні і алгебраїчні центри напівгруп і . Доведено, що топологічний центр напівгрупи збігається з підпростором 
простору що містить гіперпростори включення з скінченними носіями. Подібні результати виконуються також для напівгрупи : для кожної не більш ніж зліченної групи топологічний центр напівгрупи збігається з 
. Показано, що для кожної зліченної нескінченної групи алгебраїчний центр напівгрупи і збігається з алгебраїчним центром групи .
Повністю описано структуру скінченних напівгруп гіперпросторів включення 
та суперрозширення 
для груп 
малих порядків. Як виявилося, напівгрупи гіперпросторів включення та максимальних зчеплених систем мають набагато складнішу структуру ніж напівгрупи ультрафільтрів. Це спостерігається вже на скінченному рівні: для скінченої напівгрупи напівгрупа ультрафільтрів ізоморфна , в той час як порядок напівгруп і має подвійний експоненціальний ріст, коли 
прямує до безмежності, і, як наслідок, їх структура набагато складніша, ніж структура .
івим було запроваджено ряд нових термінів, зокрема, “самозачеплена множина” в групі, “непарна група”, які на думку І. Протасова, є дуже вдалими і мають увійти в математичний ужиток. Ним вивчено самозачеплені множини в групах і обчислено їх мінімальну потужність для деяких груп. З допомогою максимальних зчеплених систем і самозачеплених множин у групах, івим доведено наступний важливий комбінаторний факт: якщо непарну группу 
розбити на дві частини 
, то 
або 
. ВідомийЗнаменитий американський математикнауковець Н. Гайдмен, котрий реферував його статті в Math. Review, включив деякі результати в свій недавній огляд ''Algebra in the space of ultrafilters and Ramsey Theory'' і дуже позитивно оцінив отримані Гаврилківим результати, а І. Протасов запропонував послати вищенаведене комбінаторне спостереження як задачу в "The American Mathematical Monthly".
ЮЮЮТаким чином, дослідження, проведені авторами роботи при вивченні правотопологічних і топологічних напівгруп та розв’язанні комбінаторних проблем, мають теоретичний характер і пов’язані з напрямками сучасної математики, які інтенсивно розвиваються як в Україні, так і за кордоном. Отримані результати та розвинуті методи можна застосувати для подальших досліджень у топологічній алгебрі, функціональному аналізі, комбінаториці чисел, комбінаторній теорії розбиттів, комбінаторній геометрії, теорії правотопологічних напівгруп, теорії груп, теорії категорій і функторів. Вони можуть бути включені до програм спецкурсів для студентів математичних спеціальностей.
Кандидат фіз.-мат. наук, викладач кафедри
алгебри та геометрії ПНУ імені Василя Стефаника _______________ів
Кандидат фіз.-мат. наук, н. с. відділу алгебри
ІППММ НАНУ ________________
Кандидат фіз.-мат. наук, н. с. відділу
функціонального аналізу ІППММ НАНУ ________________
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
