Математичне та комп’ютерне моделювання медтехніки (стр. 5 )

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №5

Побудова математичних моделей за експериментальними даними (інтерполяція).

Метою даної роботи є набуття навиків побудови математичних моделей медтехніки за експериментальними даними методом інтерполяції поліномом Лагранжа.

Теоретичні відомості

Метод інтерполяції поліномом Лагранжа

Поліном Лагранжа: .

Приклад 1. Побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа для функції:

x	1	2	3	5
y	1	5	14	81

Відповідно поліном Лагранжа матиме вигляд:

Відкриваємо дужки та зводимо до спільного знаменника:

Приклад 2. Функція задана таблично. Знайти значення функції, коли відомо, що х=4.

x	0	1	2	6
y	-1	-3	3	1186

Для полегшення обчислень складають допоміжні таблиці:

x-x0	x0-x1	x0-x2	………	x0-xn	k0
x1-x0	x-x1	x1-x2	………	x1-xn	k1
………	………	………	………	………	………
xn-x0	xn-x1	xn-x2	………	x-xn	kn

Тоді .

Введемо позначення добутку діагональних елементів:

.

Побудуємо таблицю:

4	-1	-2	-6	-18
1	3	-1	-5	15
2	-1	2	-4	-16
6	5	4	-2	-240

Приклад 3. З якою точністю можна обчислити за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа для функції . Вибравши вузли інтерполяції

Будемо брати похідні від функції і підставляти значення.

обмежимось трьома похідними – оскільки 3 вузли інтерполяції.

Звідси отримаємо: .

Недолік – складність алгоритму і необхідність його повного виконання для кожного значення х.

Завдання

1. Пояснити алгоритм наближення заданої дискретної функції заданим методом. Метод наближення значення дискретної функції та аргумент точки, в якій треба знайти значення інтерполяційної (апроксимуючої) функції вибрати згідно варіанту завдань.

x	f	f	F
0	1	0	2
2	2	1	1
3,5	4	3	0,5
7	3,5	5	1
9	2,5	6	1,5
10	1,5	6,5	2
№ варіанту	1, 3, 5, 7, 9	2, 4, 6, 8, 10	11, 12, 13, 14, 15

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №6

Побудова математичних моделей за експериментальними даними (інтерполяція).

Метою даної роботи є набуття навиків побудови математичних моделей медтехніки за експериментальними даними методом інтерполяції поліномом Ньютона

Теоретичні відомості

Метод інтерполяції поліномом Ньютона

Розглянемо випадок, коли вузли інтерполяції є рівновіддаленими, тобто для .

Введемо поняття скінченої різниці:

1-го порядку

2-го порядку ...

n-го порядку

Поліном Ньютона матиме вигляд

.

Коефіцієнти будемо визначати з умови для .

Так, при

при

;

при

або

При підстановці отриманих значень, поліном набуде вигляду:

Це інтерполяційний поліном Це інтерполяційний поліном Ньютона, що використовується для відшукання значень функції в точках , близьких до початку таблиці. Аналогічно, будуючи поліном у вигляді

можна отримати інтерполяційний поліном Ньютона для знаходження значень функції на кінці проміжку

.

Приклад. Задано таблицю значень функції , що описує перебіг хімічної реакції.

0	1,3	0,8330
1	1,5	0,9163
2	1,7	0,9933
3	1,9	1,0647

Побудувати многочлен Ньютона.