Курсовая работа по курсу "Структурный анализ и синтез" на тему "Параметрическая идентификация" (стр. 3 )

о

где5 — необходимая вероятность успеха;

k — величина, характеризующая близость исходной области к экстремуму (процент числа регулирующих воздействий, дающих положительный результат); выбирается на основе априорной информации.

К методам случайного поиска относятся и методы статистического градиента и статистического наискорейшего спуска. Суть методов заключается в том, что из исходной точки производится несколько случайных проб, определяется приращение показателя качества и образуется векторная сумма приращений. Направление градиента выбирается по направлению вектора суммы. В остальном алгоритм соответствует алгоритмам поиска по методу градиента и методу наискорейшего спуска.

Методами случайного поиска, особенно при использовании алго­ритмов с самообучением, могут решаться довольно сложные задачи. Наиболее эффективно использование случайных методов при боль­шом числе регулируемых параметров. Исследования, проведенные [38], показали, что градиентный и случайный методы поиска имеют одинаковую эффективность при трех регули­руемых параметрах. При меньшем числе параметров более эффек­тивен регулярный поиск, при большем — случайный. Однако вы­бор метода поиска необходимо производить обязательно с учетом объекта регулирования и условий работы.

§ 1.5. Особенности поиска дрейфующего экстремума

Характеристики большинства объектов не остаются с течением времени неизменными, а изменяются иногда со значительными ско­ростями. Кроме того, иногда характеристики объектов не опреде­ляются аналитически, а затраты на экспериментальное определе­ние могут быть очень велики. В то же время любая характерис­тика аппроксимируется отрезками достаточно простых кривых — парабол не выше второго порядка, причем вид аппроксимирую­щей параболы (коэффициенты уравнения) зависит от значения вход­ной координаты. Пределы изменения коэффициентов в большинстве случаев определяются без значительных затрат. Учитывая, что при поиске экстремума входная координата изменяется во времени по определенному или случайному закону, характеристику любого экстремального объекта можно представить квадратичной пара­болой, дрейфующей во времени.

Выделяют два основных случая изменения характеристик во времени: на объект воздействует помеха; происходит регулярный дрейф характеристики. Обоим случаям нетрудно найти аналоги в теории обычных систем автоматического регулирования.

В промышленных экстремальных объектах основным является случайный или нерегулярный дрейф. При исследовании нерегуляр­ного дрейфа целесообразно применить прием, который широко ис­пользуется в теории авторегулирования — исследование поведе­ния систем при различных регулярных входных воздействиях и возмущениях — скачок, линейное, квадратичное или синусоидаль­ное изменение сигнала во времени. Рассмотрим влияние дрейфа характеристик на поиск экстремума.

3. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ОБЪЕКТА

Математическое описание объекта содержит уравнения статики и динамики. Совокупность математических выражений, характеризующих установившийся во времени режим работы объекта, представляет собой математическое описание его статики. Уравнения, опреде­ляющие зависимость выходных координат объекта от входных координат называются статическими характеристиками. По виду статических характеристик объекты делятся на стацио­нарные и нестационарные. Для стационарных объектов установившийся режим неизменен во времени, то есть уравнения статики не зависят от времени. Для нестационарных объектов соотношения между координа­тами являются функцией длительности и режима работы, то есть в уравнения статики нестационарного объекта обычно входит неза­висимая переменная t - время работы аппарата. В нестационарных объектах имеет место некоторый непрерывный медленно идущий динамический процесс. Определение дифферен­циальных уравнений этого процесса связано с большими трудно­стями, поэтому учет его влияния производится введением в уравне­ния статики функций времени t.

Для многих промышленных объектов изменения статических характеристик во времени невелики. Такие объекты в первом приближении могут рассматриваться как стацио­нарные, а в составленные аналитическим методом уравнения их статики не должно входить t. Если скорость изменения статических свойств объекта сущест­венна, то его можно рассматривать как стационарный на некото­ром отрезке Dt времени. Система уравнений статики таких квази­стационарных объектов также не зависит от времени, но коэффи­циенты её изменяются в зависимости от того, какому интервалу Dt принадлежит момент времени t. Излагаемый ниже материал относится к объектам, для которых допустимо предположение о стационарности статики на достаточно большом интервале времени их работы.

Совокупность математических выражений, описывающих изме­нения во времени выходных координат объекта, представляет собой математическое описание его динамики. Уравнения, устанавливаю­щие зависимость изменений выходных координат от вариаций вход­ных возмущающих параметров, принято называть динамическими характеристиками. Универсальным видом описания динамической характеристики является дифференциальное уравнение. Переходные процессы в объектах с сосредоточенными парамет­рами описываются дифференциальными уравнениями в обыкно­венных производных, в которых в качестве независимой перемен­ной рассматривается время t. Динамика объектов с распределенными параметрами описы­вается дифференциальными уравнениями в частных производных, содержащими также производные по времени.

Таким образом, отметим, что параметры дифференциальных уравнений статики и динамики стационарных объектов не зависят от времени. Характеристики же нестационарных объектов зависят от времени пробега t. Ниже рассмотрим методики аналитического составления уравнений статики и динамики.

3.1. Методика составления математического описания статики объекта

Получение математического описания статики объекта является в настоящее время сложной научно-исследовательской задачей и, к сожалению, не может быть строго алгоритмизирована. При выводе уравнения статики конкретного объекта приходится учитывать те или иные особенности его конструкции и режима работы, а также принимать упрощающие до­пущения, важность которых бывает очень трудно оценить заранее. Вместе с тем, обобщая имеющийся опыт составления уравнений статики промышленных объектов, можно сформулировать общую методику такого рода работ, условно под­разделяемую на следующие восемь этапов.

3.1.1. Выбор объекта исследования. Работа по аналитическому опи­санию статики весьма трудоемка и длительна, и поэтому при вы­боре объекта исследования следует учитывать вероятность полу­чения экономического эффекта от использования математической модели и возможность изучения статических характеристик экспе­риментальным путем на объекте. Следует четко определить «границы» объекта и учесть внешние связи его с другими аппаратами.

3.1.2. Изучение объекта. На данном этапе проводится ознакомле­ние с конструкцией объекта и рассмотрение протекающих в нем процессов. Следует учитывать, что несущест­венные на первый взгляд различия между однотипными аппарата­ми могут приводить к существенным различиям их статических характеристик. Изучение конструкции объекта позволяет определить некоторые константы, входящие в уравнения статики. Далее проводится анализ процессов в объ­екте. В промышленных объектах эти про­цессы чаще всего проходят совместно, что затрудняет их изучение и выделение главных или лимитирующих явлений. Однако уже на данном этапе необходимо ориентировочно установить, какие про­цессы следует учитывать при выводе уравнений статики.

3.1.3. Составление структурной схемы объекта. Исследуемый объ­ект условно разделяется на ряд звеньев. В качестве звеньев в объектах обычно выделяют участки, которые или являются повторяющимися элементами конструкции аппарата, или отличаются от других, участков типом лимитирующего процесса, или конструктивно пред­ставляют самостоятельную часть установки. Задача составления структурной схемы объекта является весь­ма ответственной и трудно формализуемой. Действительно, степень детализации при разделении одного и того же объекта на звенья может быть различной. Следует отчетливо понимать, что «глубина» расчленения объекта на звенья не имеет предела, поэтому выбор числа таких звеньев должен производиться с учетом уровня наших знании о процессах, реальной возможности определения неизвестных параметров, воз­можности решения полученных систем уравнений, целевого назна­чения статических характеристик и тому подобное. Другими словами, процесс составления структурной схемы и выбора элементов в существен­ной степени зависит от квалификации, опыта и интуиции инжене­ра-исследователя. С проблемой рационального расчленения объекта на звенья тес­но связана задача принятия системы допущений. В общем случае обсуждаются и затем принимаются или отвер­гаются следующие важнейшие допущения: о стационарности про­цессов в элементе; о сосредоточенности или распределенное его параметров; об уче­те тех или иных явле­ний, имеющих место в данном звене. В целом вся система допущений напра­влена, как правило, на упрощение и обо­снование принятой структурной схемы исследуемого объекта. Допущения предста­вляют компромисс между требуемой или желаемой точностью описания статических свойств объекта и возможностью как коли­чественной оценки физико-химических явлений, так и решения получающихся уравне­ний.

3.1.4. Составление математического описания отдельных звеньев. Для бесконечно ма­лого объема звена, имеющего распределен­ные параметры, выписываются уравнения теплового и материального балансов в дифференциальной форме. Затем эти уравнения интегрируются по всему объему звена. Если уравнения имеют аналитические решения, то математическое опи­сание звена будет задаваться системой конечных соотношений. Для звеньев с сосредоточенными параметрами уравнения ма­териального и теплового баланса записываются в конечной форме. В математическое описание звена входят граничные условия для дифференциальных уравнений и связи с другими, соседними, звеньями - для конечных уравнений.

3.1.5. Определение параметров уравнений звеньев. Для нахождения коэффициентов и других параметров уравнений необходимо знать свойства и характеристики рассматриваемых объектов. Часть интересующей нас информации можно найти в соответ­ствующей технической и научной литературе, для определения же некоторых коэффициентов и констант требуется постановка специ­альных лабораторных исследований. Опыты по изучению какого-либо процесса ставятся таким образом, чтобы исключить влияние конструктивных факторов на результаты исследований либо, наобо­рот, чтобы как можно более полно учесть их влияние. Во втором случае резуль­таты экспериментов чаще всего представляют в критериальной форме, что позволяет распространять их на подобные (в определен­ном смысле) звенья и объекты. Определение коэффициентов и других параметров уравнений очень часто является исключительно трудоемкой и кропотливой работой. Реальная возможность определения численных значений тех или иных параметров всегда должна учитываться при составлении структурной схемы объекта и принятии системы допущений. Погрешность определения параметров существенно влияет на точ­ность и адекватность математического описания. Вследствие этого иногда оказывается удобнее и проще для существующего объекта находить неизвестные параметры математического описания от­дельных звеньев или всего объекта экспериментально-аналитиче­ским методом.

3.1.6. Составление и анализ уравнений статики всего объекта. В математическое описание статики входят уравнения отдельных звеньев и связей между ними, граничные и начальные условия, а также ограничения на диапазоны изменения входных и выходных координат. Последнее обстоятельство важно в тех случаях, когда найденные значения констант, уравнений справедливы лишь в определенных областях задания независимых переменных. Для объектов, параметры всех звеньев которых рассматриваются сосредоточенными, полученная система уравнений преобразуется к одному из видов:

(3.1)

(3.2)

Здесь y1, y2, …, yn - выходные координаты объекта; x1, x2, ..., хm - входные (независимые) координаты; ai - векторы параметров, учитывающих конструкцию аппарата; bi - векторы параметров, зависящих от физико-химических свойств веществ и условий проведения процессов в аппарате.

Функции fi в представляющей интерес области обычно нелинейны и непрерывны по . Для нахождения численного решения системы (3.1) или корней уравнений (3.2) требуется задание констант ai, bi и входных переменных x1, x2, …, xm. Число выходных координат yi должно быть равным числу уравнений (3.1) или (3.2). В тех случаях, когда принято допущение о распределенное в пространстве некоторых параметров yi система уравнений мате­риального и теплового балансов должна содержать дифференци­альные уравнения с частными производными по пространственным координатам. В некоторых задачах удается сравнительно просто определить статические характеристики отдельных звеньев, а затем с помо­щью графо-аналитических приемов построить статические зависи­мости всего объекта. Структурные схемы объектов почти всегда можно преобразовать в комбинации трех типовых схем соединения звеньев: по­следовательного, параллельного и соедине­ния по принципу обратной связи. Поэтому рассмотрим аналитические и графические приемы построения статических характери­стик объекта по известным характеристи­кам звеньев, включенных по одной из ука­занных схем.

Пусть структурная схема объекта пред­ставляет собой цепочку элементов с извест­ными статическими характеристиками (рис. 3.1):

(3.3)

Если функции fj заданы аналитическими зависимостями, то ха­рактеристика у = хп+1 = f(хi) определяется просто:

При графическом задании функции fj(xj) статическая характеристика объекта находится с помощью следующих построений. Изобразим функции x2=f1(x1), x3=f2(x2), x4=f3(x3) в первом, втором и третьем квадрантах соответственно (линии I, II, III на рис. 3.2). Выбираем произвольную точку 1 на оси Ох1 и начинаем дви­гаться от неё по вспомогательным линиям 1-2, 2-3-4, 4-5-6, 6-7-8. Точка 8, лежащая на пересечении продолже­ний линий 1-2 и 6-7, принадлежит статической характеристике х4=f(x1). Затем подобные геометриче­ские построения приводятся для сле­дующих трех характеристик х4=f(x1), х5=f4(x4), х6=f5(x5) и так далее.

Рис. 3.1. Схема последовательно включенных звеньев

Рис. 3.2. Графическое построение статической характеристики системы с последовательно включенными звеньями

Рис. 3.3. Схема параллельно включенных звеньев с выходом на сумматор

Рис. 3.4. Графическое построение статической характеристики системы с параллельно включенными звеньями

Рис. 3.5. Схема соединения звеньев по принципу обратной связи

Рис. 3.6. Графическое построение статической характеристики системы со звеньями, включенными по принципу обратной связи

Проще определяется статическая ха­рактеристика объекта, изображенного на рис. 3.3 и состоящего из ряда парал­лельно включенных элементов с выхода­ми на сумматор. При аналитическом задании характери­стик f1, f2, f3, ... статическая зависимость объекта будет такой:

(3.4)

При графическом или табличном задании функций fj статиче­ская характеристика объекта находится путем суммирования всех n значений ординат fj(x1) при каждом х1. На рис. 3.4 линии I, II, III представляют собой статические характеристики трех параллельно включенных звеньев, а кривая IV является статической зависимостью всего объ­екта.

Иногда структурная схема объекта содержит всего два звена, одно из которых включено в цепь обратной связи (рис. 3.5). Зная статиче­ские характеристики f1(x1) и f2(y) звеньев, мож­но определить и уравнение статики объекта. При аналитическом задании функций f1 и f2 имеем уравнение статики объекта:

(3.5)

где минус соответствует случаю отрицательной обратной связи, а плюс - положительной. Если f1=k1x1, f2=k2y, то последняя зависимость принимает вид:

(3.6)

Статическую характеристику у=f(x1) системы элементов, включенных по принципу обратной связи, несложно построить графическим способом, если известны графики функций f1 и f2. Пусть эти функции имеют вид, показанный на рис. 3.6. Для определенности примем, что элементы включены по принципу отри­цательной обратной связи, то есть х3=х1-х2. Зададимся произвольным значением х3, равным, например, длине отрезка 0-1. Опре­делим соответствующие величины у= f1(x3) и х2 = f2(y). Последо­вательность действий показана на рис.3.6 стрелками и цифрами. Далее нетрудно вычислить х1=х2+x3, для чего прибавим к отрез­ку 0-1 величину отрезка 0-4. В данном примере значение х1, при котором величина у равна длине отрезка 1-2, соответствует величине интервала 0-5. Из точки 5 восстанавливаем перпенди­куляр до пересечения с горизонталью, проходящей через точку 2. Пересечение перпендикуляра и горизонтали определяет одну точку искомой статической характеристики (точка 6). Затем задаемся новым значением х3 и повторяем графические построения. Для случая положительной обратной связи имеем: х1=х3-х2, то есть отрезок 0-4 надо вычитать из отрезка 0-1 (точка 7 на рис. 3.6). Статическая характеристика y=f(x1) в этом случае бу­дет проходить через точку 8. Рассмотренные методы построения статических характеристик позволяют проводить расчеты и более сложных структурных схем, при расчленении их на цепочки с последовательно или параллельно включенными элементами или на контуры с обратными связями.

3.1.7. Выбор методов решения уравнений статики. Вычисление зна­чений yi по выражениям (3.1) или (3.2) и тем более инте­грирование дифференциальных уравнений в частных производных обычно осуществляется на электронной вычислительной машине (ЭВМ). Так как уравнения статики часто корректируются и видоизме­няются, то программу решения задачи на ЭВМ целесообразно составлять в форме набора подпрограмм. Принципиальных трудно­стей при решении на ЭВМ конечных уравнений не возникает. Интегрирование на ЭВМ линейных и нелинейных дифференциаль­ных уравнений осуществляется разностными методами. Для неко­торых видов уравнений при неудачном выборе шагов интегриро­вания, имеется опасность получения неустойчивых решений.

3.1.8. Оценка точности математического описания объекта. Точность описания статических свойств объекта аналитически составленными уравнениями может оцениваться, например, величи­ной одного из приведенных ниже показателей:

(3.7)

где - весовые множители.

Для вычисления Ф, Фрi на объекте проводится активный или пассивный эксперимент, заключающийся в регистрации d различ­ных значений входных координат x1b, х2b, …, хmb и соответ­ствующих им установившихся величин . Желательно, чтобы переменные x1, х2, …, хm варьирова­лись во всем диапазоне, допустимом технологическим регламентом. Ординаты хmb вычисляются по составленным уравнениям статики при наблюденных значениях x1b, х2b, …, хmb.