Курсовая работа по курсу "Структурный анализ и синтез" на тему "Параметрическая идентификация" (стр. 4 )

Критерий Ф используется при степенной (квадратичной) оцен­ке близости функций yi к экспериментальным значениям . Ве­совые множители вводятся в выражение (3.7) для создания возможности сравнения разнородных координат при неравноточ­ных измерениях координат объекта. Чем больше погрешность из­мерения , тем меньше выбирается множитель . В практиче­ских задачах далеко не всегда известны ошибки измерения , что делает невозможным объективный выбор весовых множителей. Если величины yi существенно отличаются друг от друга, то по­является необходимость нормирования отдельных слагаемых в вы­ражении (3.7). В этом случае множители выполняют роль нормирующих коэффициентов. В частности, при их можно принять пропорциональными величинам . Для возможности сравнения критериев Фpi между собой вели­чину Фрi также целесообразно нормировать путем деления на зна­чение , при котором достигается максимум данного Фрi. При достаточно больших значениях Ф или Фрi математическое описание считается не адекватным реальному объекту. В этом слу­чае требуется изменение структурной схемы объекта, то есть включе­ние в рассмотрение новых звеньев, либо уточнение отдельных «со­мнительных» параметров уравнений. Эта операция может осуще­ствляться постановкой дополнительных лабораторных опытов или применением экспериментально-аналитиче­ского метода (последнее возможно, если речь идет о существующем объекте).

Вопрос о том, при каком «критическом» значении Ф или Фрi считать математическое описание адекватным объекту, а при каком требовать уточнения уравнений статики, является исключительно сложным и, вероятно, не имеет однозначного ответа. Выбор такого критического значения критерия тесно связан с целевым назначением математического описания, а также с представительностью выборки . В частном случае, когда - независимые случайные величины, для оценки случайного (неслучайного) характера расхождений между решениями уравнений статики и наблюденными данными могут быть использованы статистические критерии значимости и согласия. При таком подходе сохраняется субъективный выбор некоторых параметров (вероят­ностей), от которого зависит ответ на поставленный вопрос о близости и .

3.2. Методика составления математического описания динамики объекта

Математическое описание переходных процессов, полученное аналитическим способом, позволяет проводить исследование объ­екта с учетом следующих факторов: 1) конструктивных особенно­стей; 2) параметров технологического режима, изменяющихся в широ­ком диапазоне. Уравнения динамики могут быть использованы для определе­ния и анализа частотных и временных динамических характери­стик действующих или вновь проектируемых объектов - для рас­чета систем автоматического регулирования и управления, для нахождения оптимальных режимов работы аппаратов и проекти­рования конструкций объектов с заранее заданными статическими и динамическими свойствами.

Идея аналитического вывода уравнений динамики основана на том, что скорость изменения выходной координаты какого-либо звена в первом приближении пропорциональна разности расходов входящих (образующихся) и выходящих (расходуемых) потоков вещества или энергии. В частном случае, когда «приход» и «рас­ход» вещества (энергии) равны, скорость изменения выходной ко­ординаты во времени равна нулю и уравнение динамики превра­щается в уравнение статики. Иначе говоря, математическое описа­ние динамики звена, а следовательно, и всего объекта может со­держать уравнения статики. При аналитическом описании динамики звена обычно рассмат­ривают отклонение режима от статического, то есть в том или ином виде учитывается установившееся состояние объекта - его ста­тика.

Методика аналитического составления дифференциальных урав­нений динамики во многом совпадает с последовательностью действий при определении статических зави­симостей. Ниже кратко перечисляются эти основные этапы и об­суждаются особенности получения дифференциальных соотноше­ний динамики звена.

3.2.1. Выбор объекта исследования. Объем и содержание работ на этом этапе такие же, как и при составлении уравнений статики.

3.2.2. Изучение объекта. Изучается конструкция и технологические режимы работы объекта, анализируются основные процессы, выясняются лимитирующие явления и стадии.

3.2.3. Составление структурной схемы объекта. Содержание работы на этом этапе аналогично исследованиям, проводимым при составлении уравнений статики. Следует иметь в виду, что порядок си­стемы дифференциальных уравнений обычно равен или даже большие числа звеньев в структурной схеме. Принятие допущений о возможности описания динамики звеньев дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных с постоянными или переменными во времени параметрами в настоящее время не основывается на каких-либо количественных оценках и определяется, по существу, опытом и интуицией исследователя.

3.2.4. Составление уравнений статики отдельных звеньев. Для звена с сосредоточенными параметрами составляются уравнения энергетического баланса:

(3.8)

где Ij, Ii – потоки энергии, подводимые к элементу от j-х источников и отводимые к i-м телам.

В статическом режиме подвод и отвод вещества (энергии) равны между собой и накопление каких-либо компонентов или энергии отсутствует.

В звене с распределенными в пространстве параметрами выделяется бесконечно малый объем dV и выписываются для него дифференциальные уравнения материального и энергетического балансов, в основе которых также лежит идея о равенстве суммарных расходов подводимых и отводимых через все грани объема dV веществ и энергии. Эти уравнения не содержат производных по времени t.

3.2.5. Получение дифференциальных уравнений динамики звена. Предположим, что расход энергии I изменился по сравнению с его значением в статическом режиме. В звене начинается процесс накопления энергии и, как следствие, происходят изменения каких-либо выходных координат. Скорость накопления количества энергии QI в звене задается простым дифференциальным соотношением:

(3.9)

Далее осуществляется переход от величины QI к интересую­щим нас выходным координатам. Если звено имеет распределенные параметры, то, поскольку распределения расходов подводимой и отводимой энер­гии заданы в форме дифференциальных уравнений с частными производными по пространственным координатам, правые части уравнения динамики (3.9) также будут зависеть от частных производных.

3.2.6. Нахождение параметров уравнений динамики. Сбор инфор­мации о численных значениях коэффициентов и тому подобное осуществляется так же, как и при определении неизвест­ных коэффициентов уравнений статики. Следует указать, что в настоящее время выполнено очень мало исследований по изуче­нию численных значений характерных параметров процессов теп­ло - и массопереноса при неустановившихся режимах. Поэтому очень часто в уравнениях динамики используются результаты, по­лученные в установившихся, статических, условиях работы звена. Это обстоятельство снижает точность описания переходных процес­сов объекта аналитически выведенными уравнениями.

3.2.7. Составление уравнений динамики всего объекта. В матема­тическое описание динамики объекта входят дифференциальные уравнения отдельных звеньев, алгебраические уравнения связей между звеньями, начальные условия, граничные условия и ограни­чения на диапазоны входных и выходных координат. Путем несложных преобразований уравнения связей обычно можно включить в состав дифференциальных уравнений звеньев. Общее математическое описание динамики объекта с сосредото­ченными параметрами имеет следующий вид:

(3.10)

где yi - выходные координаты;

xj - входные координаты;

di - известные начальные условия;

xj*, , yi*, - граничные значения областей допустимых изменений xj и yi. Число уравне­ний обычно равно числу звеньев.

Динамика объекта с распределёнными параметрами, например, по длине , описывается уравнениями:

(3.11)

где di() - начальные условия;

- граничные условия.

Порядок дифференциального уравнения с частными производ­ными обычно не выше второго, количество уравнений - не больше числа звеньев.

3.2.8. Выбор методов решения уравнений динамики. Полученные аналитический способом уравнения динамики обычно нелинейны, и для нахождения их численных решений требуется применение аналоговых или, чаще, цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений не вызывает принципиальных осложнений. Нахождение решений уравнений с частными производными с помощью ЦВМ связано с рядом трудностей. Исходные уравнения обычно прёобразуются в конечно-разностные соотношения, решение которых может оказаться неустойчивым при неудачном выборе интервала квантования по времени и пространственным координатам. Иногда уравнения в частных производных преобразуют в обыкновенные дифференциальные уравнения (метод характеристик). Сведения о численных методах интегрирования дифференциальных уравнений можно найти в литературе [6].

3.2.9. Оценка точности математического описания динамических свойств объекта. Точность описания переходных процессов в объекте с сосредоточенными параметрами может характеризоваться величинами функционалов:

(3.12)

(3.13)

Для получения экспериментальных переходных процессов на объекте проводятся опыты с различными наборами возмущающихx сигналов при . Зависимости есть решения уравнений (3.10) при и при . Показатель степени q обычно принимается равным единице или двум. Множители wib выбираются иногда из условия выравнивания погрешностей при неравноточных измерениях величин . В тех случаях, когда существенно различаются между собой по мо­дулю, множители wib выполняют роль нормирующих коэффициентов (нормирующих функций). Чаще всего wib полагают равными величинам при .

Для объектов с распределенными, например, по длине пара­метрами () функционалы примут вид:

(3.14)

(3.15)

где - решение системы уравнений (3.11) при , , .

Функции с индексом «э» получены экспериментально. Значения функционалов Ф, Фpi количественно характеризуют степень близости решений уравнений динамики и наблюденных переходных процессов, в реальном объекте.

5. ОРГАНИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ПО ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Задача нахождения параметров aim уравнений (5формально сводится к задаче наилучшего степенного приближения экспериментальных данных решениями уравнений, то есть требуется подобрать параметры aim такими, чтобы решение yi(t) (0tTн) системы дифференциальных уравнений (5.1) при (t)(t) и yi(0)= наилучшим образом совпадало с наблюденными функциями .

(5.1)

(5.2)

(5.3)

Мерой близости yi(t) и y(t) может служить величина некоторого функционала:

. (5.6)

Здесь функция Ф1³0. В качестве Ф1 обычно принимают следующее выражение:

,

где s =1 или 2. Чаще всего в практических расчетах используется функционал:

, (5.7)

При проведении экспериментов на объектах часто измеряют выходные координаты в равноотстоящие моменты времени tj (j = 0, 1, 2, ..., l). Поэтому выражение (5.7) преобразуется к такому виду:

, (5.8)

где

Решение yi(t) есть функция от хil(t), yil(0) и параметров aim; но возмущения э(t) и начальные условия (0) известны и неизменны, поэтому (t) зависит только от aim, то есть функционал (5.7) превращается в функцию nk переменных аim:

. (5.9)

Неизвестные параметры aim, системы надо выбирать такими, чтобы функция Ф() достигала минимального значения. Заметим, что Ф() удается написать в явной форме тогда, когда система (5.3) имеет аналитическое решение. В большинстве же случаев функция Ф() строится и исследуется косвенным образом: интегрируется система (5.3) при конкретных значениях аim, yil(0)=у(0) и а отрезке времени [0,Тн] и решения или подставляются в выражения (5.7) или (5.8). Затем изменяются aim и снова вычисляются и значение Ф().

Для нахождения параметров, уравнений статики (5.4) также можно минимизировать функцию:

, (5.10)

где , - заданные и наблюденные равновесные значения выходных и входных координат объекта.

Параметры уравнений статики (4.4) выбираются из условия минимума функции:

. (5.11)

В уравнениях и (5.11) число экспериментальных данных должно быть, очевидно, не меньше числа неизвестных параметров аim (i=;).

Итак, задача определения параметров aim уравнений динамики и статики свелась в конечном счете к задаче нахождения минимума функции nk переменных.

При нахождении параметров уравнений статики экспериментально-аналитическим методом составляют функцию Ф(), явно зависящую от переменных aim (i=;).Функцию Ф() вида и получают и при определении параметров уравнений динамики, для которых можно найти аналитические решения, что возможно для линейных по yi функций fi или для систем (IX. 3), преобразуемых к уравнениям с разделяющимися переменными. Для лучшего понимания возможностей того или иного метода минимизации функции Ф() приведем определения основных терминов теории экстремальных решений. Для удобства записи будем пока рассматривать функцию Ф() = Ф(а1,а2, ...,аn) от n переменных.

Рассмотрим некоторые особенности функций Ф(), установленные как на основе накопленного опыта исследования поверхностей , так и на учете свойств уравнений (5.2) и (5.3). Здесь вектор имеет компонентами параметры .

Функции Ф() типа (5.2) и (5.3) можно назвать плохо организованными функциями, поскольку они характеризуются некоторыми из приведенных ниже особенностей.

1. Дифференцирование Ф() по aim усложняет структуру функций . Объясняется это тем, что параметры aim входят нелинейно в функции fi, которые в свою очередь включены в Ф в квадрате. Поэтому вычисление - более трудоемкая операция, чем нахождение значений Ф(). Например, частные производные плохо организованной функции:

где Ei и nj – в вычислительном отношении сложнее функции Ф();