Курсовая работа по курсу "Структурный анализ и синтез" на тему "Параметрическая идентификация" (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электрооборудования КУРСОВАЯ РАБОТА по курсу "Структурный анализ и синтез" на тему "Параметрическая идентификация" Выполнил магистрант гр. МЭО-01 _____________________________ "____"___________________2001 Принял доцент к. т.н. _____________________________ _____________________________ "____"___________________ 2001

 

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………..

1. ПРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ………………………….

1.1. Декомпозиция……………………………………………………….

1.2. Структура……………………………………………………………

1.3. Звено…………………………………………………………………

1.4. Требования к звеньям……………………………………………….

1.2. Методы описания объекта……………………………………………

1.3. Целевые функции идентификации……………………………………

1.4. Организация движения по экстремальной поверхности…………….

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………..

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………………..

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дудников математических моделей химико-технологических объектов / , , 1976.

2. Кафаров анализ процессов химической технологии, 1976.

3. Солодовников. Техническая кибернетика. Теория автоматического управления. Книга 1, 1976.

4. Красовский. Справочник по теории автоматического регулирования.

5. Челикин. Электропривод, 1979.

6. Берёзин вычислений / ёзин, , 1966.

Выше звено было определено как математическая модель элемента. Вообще же звеном называют математическую модель элемента, соединения элементов или любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальны­ми уравнениями довольно высокого порядка, и в общем слу­чае их передаточные функции могут быть записаны в виде

Но всегда их можно представить как соединения типовых или элементарных звеньев, порядой дифференциальных урав­нений которых не выше второго.

Из курса алгебры известно, что полином произвольного по­рядка можно разложить на простые множители — множители вида

поэтому передаточную функцию (2.41) можно представить как произведение простых множителей вида (2.42) и простых дро­бей вида

Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей (2.42) или простых дробей (2.43), называют типовыми или элементарными звеньями.

Прежде чем переходить к изучению элементарных звень­ев, вспомним формулы для модуля и аргумента комплексного числа. Пусть комплексное число представлено в виде отноше­ния двух произведений комплексных чисел.

Так как z- - |гг! е''аг0гг, \ = |zje/arir4 то для модуля и аргумента комплексного числа имеем

Таким образом, справедливо следующее правило модулей и аргументов комплексных чисел: модуль комплексного числа, представленного в виде отношения двух произведений комп­лексных чисел, равен отношению произведения модулей сом­ножителей числителя к произведению модулей сомножителей знаменателя, а его аргумент — разности суммы аргументов сомножителей числителя и суммы аргументов-сомножителей знаменателя.

' Пропорциональное звено. Пропорциональным называют звено, которое описывается уравнением у (t) — ku (t), или, что то же, передаточной функцией W (s) — k.

Частотные и временнйе функции этого типового звена име­ют следующий вид:

На рис. 2.4 представлены некоторые из характеристик про­порционального звена: амплитудно-фазовая частотная характе­ристика (рис. 2.4, а) есть точка на действительной оси; фазо­вая частотная характеристика (и ЛФЧХ) совпадает с положи­тельной полуосью частот; логарифмическая амплитудная час­тотная характеристика (рис. 2.4, б) параллельна оси частот и

Структурной схемой в теории автоматического управления называют графическое изображение математической модели автоматической системы управления в виде соединений звень­ев. Звено на структурной схеме условно обозначают в виде прямоугольника с указанием входных и выходных величин, а также передаточной функции внутри него. Иногда вместо передаточной функции указывают уравнение или характерис­тику. Звенья могут быть пронумерованы и их передаточные функции, уравнения или характеристики представлены вне стоуктуоной схемы.

* Входные и выходные величины записывают в виде изобра­жений, если передаточные функции задают в форме изображе­ний. Если же передаточные функции задают в операторной!$&рм€ или звенья описывают дифференциальными уравнения-• jiist.To входные и выходные переменные записывают в виде ори-%№ала.

Сравнивающие (рис. 2.13, а, б) и суммирующие (рис. 2.13,<?) |венья изображают в виде круга, разделенного на секторы. ;Щ-сравнивающем звене сектор, на который подается «вычитае-|юе», затемняют (рис. 2.13, б) или перед соответствующим вхо­дом ставят знак минус (рис. 2.13, а).

.<; Структурную схему широко используют на практике при ^исследовании и проектировании автоматических систем управ­ления, так как она дает наглядное представление о связях &ежду звеньями, о прохождении и преобразовании сигналов в системе.

При математическом описании автоматическую систему обычно изображают в виде блок-схемы и для каждого «блока» '(элемента) записывают уравнения, исходя из физических за­конов, которым подчиняются процессы в нем. Структурную схему можно составить на основании этой блок-схемы и полу->ченных уравнений или только на основании последних. И даль­нейшие преобразования, необходимые для получения уравне­ний и передаточных функций системы, проще и нагляднее про­изводить по структурной схеме.

Звено на структурной схеме не обязательно изображает 'Модель какого-либо отдельного элемента. Оно может быть мо-^елью элемента, соединения элементов или вообще любой час-(|ги системы.

I \ Основные правила преобразования структурных схем.

:|. Последовательное соединение звеньев (рис. 2.14, а). При

; последовательном соединении выходная величина каждого

! ^предшествующего звена является входным воздействием по-

{следующего звена. При преобразовании структурных схем це-

|почку из последовательно соединенных звеньев можно заме-

тить одним звеном (рис.

'2.14, б) с передаточной функцией W (s), равной произведению передаточ­ных функций отдельных

-звеньев: W (s)^=l\Wi (s). / = i

Рис. 2.13

достаточно широкими частотными спектрами. Наиболее часто используют сигналы регулярной формы: ступенчатую функцию, импульс и т. п. Амплитуды х* (t} также должны варьироваться в широком диапазоне [л^.*, #*], чтобы влияние нелинейных свойств объекта наиболее существенно отразилось на форме yi(t). Диапазон \Xj*, x*j\ ограничен, с одной стороны, правилами безопасной эксплуатации объекта и, с другой стороны, уровнем помех, не коррелированных С Xj(t).

Выбор различных начальных условий у* (0) позволяет более уверенно судить о виде переходных процессов y\(t}. В ряде случаев г/| (0) являются одновременно возмущающими воздействиями, например, при исследовании кинетики химических реакций.

В качестве xa(t) можно использовать случайные флуктуации входных координат. Однако такой прием проведения эксперимента не получил пока широкого распространения, ибо соответствующие флуктуации tji(t) обычно невелики, что усложняет задачу нахождения aiv,- Время наблюдения за случайными процессами яэ(/) и y3(t), необходимое при этом, в десятки и сотни раз больше интервала наблюдения Гн, поэтому на форме функций г/э(/) может начать сказываться нестационарность объекта.

Итогом экспериментальных исследований динамики объекта является таблица соответствий функций х*к (t) и у*к (t) (О <J t <! Тн), где К — номер возмущения x9f(t) и реакции y\(t} на него (Л, = 1, 2, ...,d).

Опыты на объекте, предназначенные для определения aiv, в уравнениях (IX. 4) и (IX. 5), не отличаются от опытов по исследованию статики экспериментальным методом. В ЭАМ применяют преимущественно активные методы исследования, изменяя поочередно или одновременно в соответствии с некоторым планом координаты Xj(t] на величину &х} = (x*f — x^jd, где d — число различных уровней возмущающего сигнала. После* окончания переходного процесса фиксируется установившееся значение #|(УН), где Гн — интервал наблюдения, величина которого зависит от уровня помех, действующих на объект.

Результаты опытов представляются набором таблиц соответствия **Л, у*к (i = 1, 2, ..., я; / = 1, 2, ..., т; Я = 1, 2, ..., d).

Определение параметров а/р. уравнений статики и динамики

Задача нахождения параметров aiVi уравнений (IX. 3) — (IX. 5) формально сводится к задаче наилучшего степенного приближения экспериментальных данных решениями уравнений, т. е. требуется подобрать параметры aiv. такими, чтобы решение yi (t)' (0^.t ^. Гн) ^системы дифференциальных уравнений (IX. 3) при x(t)===x3(t) и I// (0) — У] (0) наилучшим образом совпадало с наблюденными функ-

циями y9t(f). Мерой близости yt(t) и y](t) может служить величина некоторого функционала

Здесь функция Ф^О. В качестве Ф\ обычно принимают следующее выражение:

где s =st 1-или 2. Чаще всего Ё практических расчетах используется функционал

При проведении экспериментов на химико-технологических объектах часто измеряют выходные координаты в равноотстоящие моменты времени tj (/= О, 1, 2, ..., /). Поэтому выражение (IX/7) преобразуется к такому виду:-.

Решение y.i\(t) есть функция от х^(1), y^(Q) и параметров ащ\ но возмущения x*(t) и начальные условия уэ1К (0) известны и неизменны, поэтому #гх(0 зависит только от я^и, т. е. функционал (IX. 7) превращается в функцию nk переменных аг-ц:

Неизвестные параметры aiv, системы (IX. 3) надо выбирать такими, чтобы функция Ф(а) достигала минимального значения. Заметим, что Ф(а) удается написать в явной форме тогда, когда система (IX. 3) имеет аналитическое решение. В большинстве же случаев функция Ф(а) строится и исследуется косвенным образом: интегрируется система (IX. 3) при конкретных значениях а^, yiK(0) = у*к(0) и х(1)=хэ(1) на отрезке времени [О, Тк] и решения yi\(t) или г/ixj подставляются в выражения (IX.7) или (IX.8). Затем изменяются aiu и снова вычисляются ум(t) и значение Ф(а).

Для нахождения параметров, уравнений статики (IX. 4) также можно минимизировать функцию

Параметры уравнений статики (IX. 4) выбираются из условия; минимума функции

В уравнениях (IX. 10) и (IX.11) число экспериментальных данных должно быть, очевидно, не меньше; числа неизвестных пара-_метров в{Ц (£= 1, 2, ..., я; ц == 1, 2, ...,'&).

Итак, задача определения параметров аг-ц уравнений динамики и статики свелась в конечном счете к задаче нахождения минимума функции nk переменных.

Предположим, что каким-либо способом найден набор коэффициентов aiVt, при которых функция Ф (а) достигает минимума. Подставим о^ в уравнения (IX.3)— (IX.5) и получим математическое описание динамики

Можно сказать, что зависимости (IX.12) — (IX.14) наилучшим образом описывают статические и динамические свойства объекта. Термин «наилучшим образом» здесь носит условный характер, так как. существуют, очевидно, другие математические зависимости (IX.3) — (IX.5), которые могут более точно в смысле минимума Ф характеризовать наблюдаемые в объекте явления. Кроме того, могут существовать другие виды возмущающих сигналов x*(t] и реакций объекта y3(t) на них, на которых будет достигаться совершенно другой минимум Ф(а) и другие параметры ащ,-

В общем случае величина минимума Ф не может служить мерой точности или, тем более, правильности описания динамики и статики объекта выражениями (IX. 12) — (IX. 14), так как она зависит от отношения числа независимых экспериментальных данных к числу неизвестных, уровня помех, формы сигналов x3(t), способа отыскания экстремума и т. п. Для проверки адекватности математической модели (IX. 12) — (IX. 14) с движениями координат реального объекта следует использовать результаты дополнительных экспериментов #/ЛООд, которые не включались в функцию Ф(а). Величина функционала

в некотором смысле уже может характеризовать точность описания динамики объекта уравнениями (IX.12). Здесь */а(Од — решение системы (IX.12) при */а(0)-у\к(0)д, x(t) = x*(t\.

Аналогичным образом и точность описания статики объекта характеризуется величиной Фд, вычисленной по дополнительным экс-, периментальным данным у31К.

Задача определения aj из условия минимума функции многих переменных Ф(а) достаточно сложна и будет рассматриваться в дальнейшем. Здесь же разбираются некоторые особенности и сфера применения системы уравнений (IX. 12) —(IX. 14).

Система уравнений (IX. 12) —(IX. 14) приближенно справедлива для возмущений x3}(t\ принадлежащих отрезку [х^, x*f]. Экстраполяция системы на возмущения вне диапазона [*,,, л;]!] не гарантирует сохранение точности математического описания.

Уравнения динамики (IX. 12) справедливы, строго говоря, только для начальных условий у\ (0). Распространение действия уравнений (IX. 12) на любые #г-(0) допустимо для корректных по начальным условиям дифференциальных уравнений (IX.3) с той же оговоркой, что и для Xj3. Требование корректности уравнения означает, что бесконечно малым вариациям г/г-(0) будут соответствовать бесконечно малые изменения решения yi(t) в любой точке t интервала [О, Гн]. Для корректности дифференциального уравнения требуется непрерывность /г и dfi/dyi при любых / из диапазона [О, Гн] [1]. Если уравнения системы (IX.3) корректны и если при снятии переходных процессов y3.(t) варьировались, начальные условия г/?(0) в некотором интервале [#*(())*, #г(0)*], то зависимости (IX. 12) могут быть использованы для описания. динамики объекта при любых 1/г-(0) в диапазоне [г/г (0)#, t/i(0)*].

Уравнения (IX. 12) — (IX. 14) справедливы для объекта, на котором проводился эксперимент. Эта особенность ЭАМ является его недостатком неодновременно, преимуществом по сравнению с аналитическим методом.

-Невозможность описания динамики и статики широкого класса однотипных объектов уравнениями (IX. 12) — (IX. 14) заставляет проводить эксперименты на каждом конкретном объекте и каждый раз заново определять параметры aj^. Отсюда ясно, что методы нахождения а^ должны быть не бчень трудоемкими.

Вместе с тем использование экспериментальных данных, полученных при испытании конкретного объекта, позволяет косвенно* через значения а^, учесть все его индивидуальные особенности^ чего нельзя сделать при аналитическом составлении математического описания.

Параметры а*^ уравнений (IX. 12) — (IX. 14) имеют определенный физический и химический смысл или характеризуют конструкцию аппарата (энергии активации, коэффициенты теплопередачи,

поверхности нагрева и т. п.). Каждая из величин а*^, найденных из условия минимума Ф(а), может отличаться от аналогичной величины, определенной в лабораторных условиях. Эта особенность ЗАМ объясняется следующими причинами:

1) значения a*ivi находятся приближенными методами (см. стр. 216—240); .

2) параметры а*ц определяются из условия минимума недостаточно представительной функции Ф(а), статистическая достоверность которой зависит от числа экспериментальных данных, формы и амплитуды испытательных сигналов и т. п.;

3) величины а*й учитывают действие на объект различных явлений, постоянных факторов и помех, не учитываемых в уравнениях (IX. 3)—( IX. 5);

4) значения параметров я*^ в аналитическом методе находятся обычно независимо друг от друга расчетным или экспериментальным способом (эти параметры определяются при ряде ограничений и условий, выполнимость которых зачастую трудно или невозможно установить либо обеспечить при постановке опытов на конкретном Объекте).

Из краткого анализа особенностей ЭАМ следует, что этот метод удачно объединяет основные положительные свойства аналитического и экспериментального методов. Первый и второй этапы ЭАМ совпадают с соответствующими частями аналитического и экспериментального метода. Принципиальное отличие ЭАМ заключается в способе определения параметров уравнений статики и динамики.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЙ СТАТИКИ

При нахождении параметров уравнений статики экспериментально-аналитическим методом составляют функцию Ф(а), явно зависящую от переменных aiu, (i = 1, 2, ..., п\ ц, = 1, 2, ..., k). Функцию Ф(а) вида (IX. 10) и (IX. 11) получают и при Определении параметров уравнений динамики, для которых можно найти аналитические решения, что возможно для линейных по г/г - функций fi или для систем (IX. 3), преобразуемых к уравнениям с разделяющимися переменными. Примеры определения aiv, линейных дифференциальных уравнений рассматриваются в гл. XI. Приемы нахождения ащ нелинейных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными разбираются в гл. X.

Для лучшего понимания возможностей того или иного метода минимизации функции Ф(а) приведем определения основных терминов теории экстремальных решений. Для удобства записи будем пока рассматривать функцию Ф(а) = Ф{а\,а2, ...,ап) от п переменных.

Пусть функция Ф(а) определена и непрерывна вместе с производными

1.4.2. Градиентные методы оптимизации. Градиентные методы оптимизации относятся к численным ме­тодам поискового типа. Эти методы универсальны, хорошо приспо­соблены для современных цифровых вычислительных машин и весьма эффективны в большинстве случаев поиска экстремального значения нелинейных функций с ограничениями и без них, а так­же, когда функция вообще аналитически неизвестна. Вследствие этого градиентные, или поисковые, методы широко применяются на практике. Сущность указанных методов заключается в определении зна­чений независимых переменных, дающих наибольшие изменения целевой функции. Обычно это достигается при движении вдоль градиента, ортогонального к контурной поверхности в данной точке.

Различные поисковые методы в основном отличаются друг от друга способом определения направления движения к оптимуму, размером шага и продолжительностью поиска вдоль найденного направления, критериями окончания поиска, простотой алгоритми­зации и применимостью для различных ЭВМ. Техника поиска экс­тремума основана на расчётах, которые позволяют определить на­правление наиболее быстрого изменения оптимизируемого кри­терия.

Если критерий задан уравнением:

,

то его градиент в точке определяется вектором:

.

Частная производная пропорциональна косинусу угла, образуемого вектором градиента с i-ой осью координат. При этом:

.

Основным вопросом, решаемым в методах градиента наряду с определением направления градиентного вектора, является вы­бор шага движения по градиенту. Выбор величины шага в на­правлении grad F в значительной степени зависит от вида поверх­ности. Если шаг слишком мал, это потребует продолжительных расчётов. Если наоборот размеры шага слишком велики, можно проскочить оптимум. Размер шага Dхi должен удовлетворять усло­вию, чтобы все шаги от базисной точки лежали в том же самом направлении, как и направление градиента в базисной точке. Раз­меры шага по каждой переменной xi вычисляются из значений частных производных в базовой (начальной) точке:

,

где K - константа, определяющая размеры шага и равная для всех i-ых направлений.

Только в базовой точке градиент строго ортогонален к поверхности. Если же шаги слишком велики в каж­дом i-ом направлении, вектор из базисной точки не будет ортого­нален к поверхности в новой точке. Выбор удовлетворительного шага предполагает, что производ­ная в следующей точке существенно близка к производной в ба­зисной точке. Для линейных функций градиентное направление не зависит от положения на поверхности, для которой оно вычисляется. Если поверхность имеет вид:

-F = CiXi + с2х2 + С3х3 то

dF _ dF _ 6F ~dT,~Cl ~д^~С2 ~д^=асъ

и компонента градиента в i-ом направлении равна

Для нелинейной функции направление градиентного вектора, зависит от точки на поверхности, в которой он вычисляется.

Несмотря на существующие между градиентными методами различия, последовательность операций при поиске оцтимума в большинстве случаев одинакова и сводится к следующему: а) вы­бирается базисная точка; б) определяется направление движения от базисной точки; в) находится_размер шага; г) определяется сле­дующая точка поиска; д) значение целевой функции в данной точ­ке сравнивается с ее значением в предыдущей точке; е) вновь определяется направление движения и т. д. до достижения опти­мального значения. , '

Методы наискорейшего спуска (крутого восхождения) и градиента

1 Опишем принцип использования градиентных методов на при­мере функций двух переменных

F = F (Xl, x2) (IV, 66)

при наличии двух дополнительных условий:

#i(*i,*2)<0 Я2(*ь*2)<0 (IV,

Этот принцип без изменения перено­сится на любое число переменных, а также на любое число дополнительных условий.

Рассмотрим плоскость х\, х2 (рис. IV-5). Каждой точке этой плоскости, согласно формуле (IV, 66), соответствует некото­рое значение F. Линии F = const на этой плоскост'и представлены на рис. 1V-5 в виде замкнутых линий, окружающих точку М *, в которой F минимально. Пусть в начальный момент значения х\ и х2 соответствуют точке mq. Цикл ра­счета начинается с серии пробных шагов. Сначала величине х\ дается небольшое приращение 8х\ > 0, причем в это время