Оглавление (стр. 4 )

Вариант 11. q 0=6, q 1=1, s 0=-2, s 1=3, p(0)=p0 =1,5, k=0,5

Вариант 12. q 0=9, q 1=3, s 0=-2, s 1=2, p(0)=p0 =2, k=0,5

Вариант 13. q 0=15, q 1=2, s 0=-3, s 1=4, p(0)=p0 =2,5, k=0,5

Вариант 14. q 0=13, q 1=5, s 0=-1, s 1=2, p(0)=p0 =1,5, k=0,5

Вариант 15. q 0=8, q 1=1, s 0=-1, s 1=2, p(0)=p0 =2,5, k=0,5

Вариант 16. q 0=14, q 1=3, s 0=-2, s 1=5, p(0)=p0 =1,5, k=0,5

Вариант 17. q 0=10, q 1=2, s 0=-2, s 1=2, p(0)=p0 =2,5, k=0,5

Вариант 18. q 0=15, q 1=3, s 0=-1, s 1=5, p(0)=p0 =1,5, k=0,5

Вариант 19. q 0=16, q 1=5, s 0=-2, s 1=4, p(0)=p0 =1,5, k=0,5

Вариант 20. q 0=13, q 1=2, s 0=-2, s 1=3, p(0)=p0 =2,5, k=0,5

Глава 2. Примеры решения задач

Предприятие специализируется по выпуску продукции трех видов P1, P2, и P3; при этом использует сырье трех типов: S1, S2 и S3. Норма и объем расхода каждого типа сырья на 1 день заданы таблицей. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Полученную систему уравнений решить матричным методом и методом Гаусса.

Вариант№1.
Изделие	Нормы расхода сырья у. е.	Расход сырья на 1 день у. е.
P1	P2	P3
S1	5	6	4	2700
S2	2	2	1	900
S3	3	4	2	1600

Решение

Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 шт изделия S1, x2 шт изделия S2 и x3 шт изделия S3. Запишем это в виде столбца суточного выпуска продукции X. Далее выпишем матрицу технико-экономических коэффициентов A, а также столбец суточного расхода сырья В

 

Найдем количество сырья S1 , затраченного на производство обуви:

.

Найдем количество сырья S2 , затраченного на производство обуви:

.

Найдем количество сырья S3 , затраченного на производство обуви:

.

В результате получаем следующую систему уравнений для определения суточного выпуска продукции:

Решение системы уравнений матричным методом.

1) Вычисляем определитель матрицы А, применяя теорему Лапласа к первой строке:

2) Выписываем транспонированную матрицу АТ:

3) Строим присоединенную матрицу . Ее элементы представляют собой алгебраические дополнения соответствующих элементов транспонированной матрицы АТ.

Выписываем присоединенную матрицу:

4) Находим обратную матрицу по формуле:

5) Вычисляем столбец X по формуле:

Решение окончено.

Решение системы уравнений методом Гаусса.

I шаг прямого хода:

1.1. Делим первое уравнение системы на коэффициент, стоящий перед x1

1.2. Из второго уравнения вычитаем первое, умноженное на 2:

Или, умножая это уравнение на -5,

1.3. Из третьего уравнения вычитаем первое, умноженное на 3:

Или, умножая это уравнение на 5,

1.4. В результате получаем следующую систему уравнений:

II шаг прямого хода:

Из третьего уравнения вычитаем второе:

Обратный ход

Из второго уравнения получаем: .

Из первого уравнения:

Решение окончено.

Проверка:

Ответ: ежедневный выпуск продукции составляет 200 шт. изделия S1, 150 шт. изделия S2 и 200 шт. изделия S3.

Определить, имеет ли матрица A обратную, и если имеет, то вычислить ее:

Решение

1) Вычисляем определитель матрицы А, применяя теорему Лапласа к первой строке:

2) Выписываем транспонированную матрицу АТ:

3) Строим присоединенную матрицу . Ее элементы представляют собой алгебраические дополнения соответствующих элементов транспонированной матрицы АТ.

Выписываем присоединенную матрицу:

4) Находим обратную матрицу по формуле:

Проверка. Воспользуемся определением обратной матрицы :

В таблице приведены данные об исполнении баланса. Используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный выпуск энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной в 1,2 раза.

Вариант №1.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
3.	Энергетическая	100	160	240	500
4.	Машиностроение	275	40	85	400

Решение

1) Вычисляем коэффициенты прямых затрат aij, показывающие, какой объем продукции i-ой отрасли идет на производство одной единицы продукции j-ой отрасли:

2) Выписываем столбец валового выпуска X, столбец нового конечного выпуска Y, а также матрицу прямых затрат А.

3) Вычисляем матрицу E-A

4) Вычисляем матрицу полных затрат S=(E-A)-1. Каждый элемент sij этой матрицы показывает величину валового выпуска i-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска одной единицы конечного продукта j-ой отрасли.

4.1. Вычисляем определитель

4.2. Находим транспонированную матрицу

4.3. Строим присоединенную матрицу:

4.4. Находим обратную матрицу:

5) Вычисляем новый вектор валового выпуска:

6) Строим новую балансовую таблицу, предварительно вычисляя недостающие величины:

№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
5.	Энергетическая	186,4	265,6	480	932
6.	Машиностроение	512,6	66,4	85	664

Проверка:

В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса и предложения имеют вид:

1. - спроса,

- предложения,

где p – цена товара.

Найти:

1) Равновесную цену p0.

2) Эластичность спроса и предложения для этой цены.

3) Изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение

1) Определяем равновесную цену p0, при которой спрос равен предложению.

Отсюда p0=2. (Отрицательный корень отбрасываем, как не имеющий экономического смысла).

График зависимостей спроса и предложения от цены представлен на рис. 1.

Рис.1. Зависимости спроса и предложения от цены.

2) Находим эластичности спроса и предложения для равновесной цены.

2.1. Находим производные q’(p) и s’(p).

2.2. Получаем общие выражения для эластичностей спроса и предложения.

2.3. Вычисляем эластичности спроса и предложения при равновесной цене.

Таким образом, при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается (т. к. «-») на 0, 3%, а предложение возрастает (т. к. «+») на 0,8%.

3) Выведем общее выражение для эластичности дохода R=pq по цене, пользуясь свойствами эластичности и подставим в него численные значения p0 и E2(q):

Это означает, что при увеличении цены на 1% от равновесного значения доход увеличивается на 0,7%. Следовательно, при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 5×0,7%=3,5%.

Ответ: 1) равновесная цена товара равна 2; 2) при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0, 3%, а предложение возрастает на 0,8%; 3) при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 3,5%.

Фирма реализует произведенную продукцию по цене p, а зависимость издержек C имеет вид , где q- объём производства.

Используя методы дифференциального исчисления:

1) выполнить полное исследование функции зависимости прибыли фирмы П от объема производства q построить ее график.

2) Найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

a=7; b=0,01; c=5; p=10

Решение

Учитывая, что прибыль представляет собой разность между доходом и издержками, и подставляя численные данные, получаем явный вид зависимости прибыли от объема производства:

1) Выполняем полное исследование функции П(q)

1.1. Область определения D(П)=[0;+∞].

1.2. Находим первую и вторую производную П’(q) и П’’(q)

1.3. Находим критические точки, решая уравнение П’(q)=0

1.4. Наносим критическую точку на числовую ось, и находим знак первой производной на каждом из получившихся интервалов:

Из рисунка делаем выводы о том, что функция возрастает при , а убывает при ; в точке q=10 функция имеет максимум.

Вычислим значение функции в этой точке:

1.5. Найдем точку перегиба графика функции, решая уравнение П’’(q)=0

Так как случай q=0 не представляет практического интереса, будем считать, что график функции точек перегиба не имеет.

1.6. Найдем, на каких интервалах график функции выпуклый, а на каких—вогнутый.

Так как на всей области определения, делаем вывод о том, что график функции выпуклый на всей области определения.

1.7. Сводим все полученные результаты в итоговую таблицу:

Таблица 1.

q	П’(q)	П’’(q)	П(q)	Примечания
0	+	—	-5	график выпуклый
(0;10)	+	—	↑	график выпуклый
10	0	—	15	максимум
(10;+∞)	—	—	↓	график выпуклый

1.8. Строим схематический график функции