Оглавление (стр. 5 )

Рис.2. График зависимости прибыли от объема выпуска продукции.

2) Очевидно, что оптимальным для фирмы является объем выпуска, равный 10, при этом прибыль будет максимальна и составит 15.

Ответ в данной задаче нет необходимости выписывать отдельно, так как он фактически содержится в таблице 1.

Производственная функция фирмы представляет собой функцию Кобба-Дугласа:

где:

x—объем основных фондов в (руб.);

y—объем трудовых ресурсов (чел.) ;

z—объем выпуска продукции в (руб.);

A, α, β>0—постоянные величины, причем α+ β≤1.

Известно также, что увеличения выпуска продукции на a% можно достичь или увеличением основных фондов на b% или увеличением численности работников на c%. В настоящее время один работник производит за месяц продукции на M руб., а численность работников L. Основные фонды оцениваются в K руб. Период амортизации основных фондов N месяцев, а месячная зарплата s руб. в месяц.

Найдите:

1) явный вид производственной функции этой фирмы;

2) оптимальный размер фирмы, т. е. численные значения x и y, обеспечивающие максимальную прибыль.

a=3, b=6, c=9, M=104, L=103, K=108, N=12, s=1000.

Решение.

Прежде всего установим экономический смысл параметров α и β. Для этого найдем частные эластичности выпуска по основным фондам и трудовым ресурсам.

Находим и :

Находим частные эластичности выпуска продукции по основным фондам и трудовым ресурсам:

Таким образом, параметр α показывает, на сколько процентов изменяется выпуск продукции при увеличении объема основных фондов на 1%. Аналогично, параметр β показывает, на сколько процентов изменяется выпуск продукции при увеличении объема трудовых ресурсов предприятия на 1%.

После этих вводных замечаний приступаем к решению задачи.

1) Определим явный вид производственной функции.

1.1. Учитывая экономический смысл параметров α и β, получаем:

,

Производственная функция принимает вид: (1)

1.2. Определяем параметр A.

Для этого подставляем в выражение (1) известные величины M=104, L=103, K=108 и учитывая, что в настоящее время выпуск продукции равен , получаем следующее уравнение для определения A:

, откуда A=100.

Таким образом, производственная функция данной фирмы имеет вид:

(2)

2) Определим оптимальный размер фирмы.

В качестве критерия оптимизации выбираем прибыль, т. е. оптимальным будем считать такой размер фирмы, при котором ее прибыль максимальна.

Выражение для прибыли (разность между доходами и издержками) имеет вид:

, (3)

где:

p1-себестоимость одной единицы основных фондов,

p2-себестоимость одной единицы трудовых ресурсов.

По условию задачи

Таким образом, задача свелась к нахождению максимума функции двух переменных:

, (4)

который находится по общим правилам дифференциального исчисления.

2.1. Находим все частные производные функции (4) первого и второго порядка:

2.2. Находим критические точки функции, приравнивая первые частные производные к нулю и решая получившуюся систему уравнений:

Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе. Получаем:

Отсюда

Поставляя найденное значение y в первое уравнение, находим x:

Итак, точка является критической точкой функции прибыли данной задачи.

Однако равенство нулю частных производных первого порядка является необходимым, но совсем не достаточным условием экстремума функции двух переменных. Для ответа на этот вопрос следует воспользоваться достаточным признаком экстремума, что и будет сделано в следующем пункте.

2.3. Вычисляем значения вторых производных в критической точке:

Вычисляем определитель:

Поскольку a<0, D>0, то на основании достаточного признака экстремума функции двух переменных делаем вывод о том, что точка является точкой максимума функции прибыли. Следовательно, это и есть оптимальный размер фирмы.

2.4. Вычислим оптимальный объем выпуска продукции z0 и оптимальную прибыль

Ответ: оптимальными для данной фирмы являются: объем основных фондов 1,44×108 руб, численность работников 8×103 чел. При этом прибыль будет максимальна и составит 4×106 руб при объеме выпуска продукции, равном 2,4×107 руб

Задача Кобба – Дугласа вычиление объёма продукции или инвестиций.

Инвестор вложил в производство R0 тыс. руб. и в течение n лет планирует непрерывно увеличивать объем инвестиций на a тыс. руб. ежегодно. Ожидаемая доходность инвестиций составляет i% годовых.

Определите

1) современную стоимость такого проекта по формуле .

2) наращенную сумму такого потока платежей по формуле

Примечание: Современная (текущая, капитализированная) стоимость является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. Большинство аналитических методов оценки эффективности инвестиционных проектов, кредитных операций основаны именно на определении этой величины.

Наращением или ростом денежной суммы называют процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов.

R0=10; a=2; n=3; i=8

Решение.

1) Подставляя численные значения величин, получаем:

где использованы обозначения

1.1. Вычислим интеграл , используя метод замены переменной.

Введем новую переменную , тогда .

Для нахождения новых пределов интегрирования составим таблицу:

t	y
0	-0,08·0=0
3	-0,08·3=-0,24

В результате получаем:

1.2. Вычислим интеграл , применяя метод интегрирования по частям.

Суть метода заключается в использовании формулы .

Сравнивая интеграл I2 c этой формулой, замечаем, что

Отсюда .

В последнем интеграле делаем замену переменных , тогда .

В результате:

Подставляем полученные выражения для u, du, v, dv в формулу интегрирования по частям, получаем

1.3.

2)

Ответ: Современная стоимость инвестиционного проекта составляет приблизительно 34,35 тыс. руб., а наращенная за три года сумма приблизительно равна 43,667 руб.

Нахождение общего решения дифференциального уравнения, раскрывающего зависимость спроса и предложения товара от цены.

1. Q(p)= q0 – q1p(t) - зависимость спроса от цены

S(p)= s0 – s1 p(t) - зависимость предложения от цены

q0 =10, q1 =2, Q(p)= 10-2p(t)

s0 = -4, s1=4, S(p)=-4+4p(t)

Начальная цена: p(0)= p0=2

Дифференциальное уравнение зависимости цены от времени:

2. к(Q(p(t))- S(p(t), к=0,5

Подставляя численные данные, получаем:

(10-2р+4-4р),

(14-6р),

=7-3р; -7+3р=0. (2).

Начальные условия p(0)=2 (3).

Имеем задачу линейного неоднородного дифференциального уравнения Коши для первого порядка.

3. Найдём решение (2) в виде:

р=uv; р´=u´v+ u v´, т. е. ; (4)

Подставляем (4) в (2)

+3 uv-7=0;

-7=0

4. Полагаем , тогда

5. Решаем (5) =-3и; ; ;

, ln│u│=-3t+ln C.

Полагаем, что С=1, тогда ln 1=0 и ln│u│=-3t, и=е- 3 t (7)

6. Подставляя (7) в (6) получим е - 3 t -7=0; => е- 3 t =7;

=7 е 3 t ; => , проинтегрируем обе части уравнения,

, получим v=7*e3t+C или v=e3t+C (8)

7. Подставляя (7) и (8) в р=uv, получаем:

р= е - 3 t (e3t+C), р= е - 3 t e3 t + С е - 3 t,

р= е0 + С е - 3 t, р= + С е - 3 t

Найдём С, используя начальное условие p(0)=2 .

2 = + С е0, 2- =С; - =С.

p(t)= - е - 3 t.

8. Найдём равновесную цену р*:

Q(p*) = S(p*); 10-2р*=-4+4 р*; 14=6р*, р*=2 .

Решение можно записать в виде

p(t)= р* - е- 3 t (*)

Примечание р0 - р*=2- = - ,

Следовательно (*) имеет вид:

p(t)= р*+ (р0 - р*) е - 3 t.

Приложения

Пусть точка (x0,y0) является критической точкой функции .

Находим: , а также

.

1) Если , то точка (x0,y0)—точка максимума;

2) Если , то точка (x0,y0)—точка минимума;

3) Если , то в точке (x0,y0) экстремума нет;

4) Если , то вопрос о наличии в точке (x0,y0) экстремума требует дополнительного исследования.

x	ex	x	ex
0,00	1,000	1,10	3,004
0,10	1,105	1,20	3,320
0,20	1,221	1,30	3,669
0,30	1,350	1,40	4,055
0,40	1,492	1,50	4,482
0,50	1,649	1,60	4,953
0,60	1,822	1,70	5,474
0,70	2,014	1,80	6,050
0,80	2,226	1,90	6,686
0,90	2,460	2,00	7,389
1,00	2,718	2,10	8,166

Список рекомендуемой литературы

1. Высшая математика для экономистов: Учебн. пособие для вузов/ , , ; Под. ред. проф. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.—439 с.

2. , , Черемных методы в экономике: Учебник.— М.: МГУ им. , Издательство «ДИС», 1998. — 368 с.

3. , , Савельева высшей математики для экономических вузов. Ч. 1 и 2.- М.: Высшая школа, 1982.

4. , Демидович курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

5. Малыхин моделирование экономики: Учебно-практическое пособие.—М.: Изд-во УРАО, 1998.—160 с.

6. Маркович высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. - М.: Высшая школа, 1972.

7. , . Высшая и прикладная математика - Волгоград, 1995.

8. Четыркин финансовых и коммерческих расчетов. — М.: «Дело Лтд», 1995 г. — 320 с.