Вопросы к экзамену по дисциплине «Прикладные задачи теории вероятностей» для студентов 4 курса специальности «Прикладная математика и информатика»
(7 семестр)
Лектор – профессор,
1. Опишите мультипликативный датчик, генерирующий равномерное распределение на 
.
2. Опишите общий алгоритм моделирования данного дискретного распределения с помощью мультипликативного датчика. Нарисуйте блок-схему алгоритма.
3. Опишите стандартный метод моделирования непрерывной случайной величины с помощью мультипликативного датчика.
4. Как на базе мультипликативного датчика моделируется Г-распределение с плотностью
где 
(распределение Эрланга k-го порядка)? Ответ обосновать.
5. Опишите алгоритм метода суперпозиции моделирования случайных величин. Как смоделировать распределение с плотностью
с использованием порядковых статистик? Составьте блок-схему алгоритма.
6. Опишите алгоритм метода исключения моделирования случайных величин. На каких теоремах он базируется?
7. Как моделируется стандартное нормальное распределение на базе центральной предельной теоремы? Практические рекомендации.
8. Моделирование 
распределения c 2n степенями свободы (
) с помощью мультипликативного датчика.
9. Свойства изотропных случайных векторов и их использование при статистическом моделировании n независимых, нормально распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
10. Доказать, что если 
и 
– независимые случайные величины, равномерно распределенные на , то 
, 
– независимые случайные величины со стандартным нормальным законом распределения.
11. Стандартный метод моделирования случайных векторов и метод исключения.
12. Моделирование невырожденного многомерного нормального закона.
13. Определение случайного процесса, его конечномерных распределений. Числовые характеристики случайного процесса: математическое ожидание, дисперсия, ковариационная и автокорреляционная функции, их свойства. Гауссовские случайные процессы. Временные ряды.
14. Метод Монте-Карло для вычисления интегралов и среднего времени безотказной работы схем, состоящих из большого числа элементов.
15. Статистическое моделирование потоков Пальма, простейшего потока и потоков Эрланга.
16. Определение стационарного случайного процесса в узком и широком смыслах. Примеры. Автоковариационная функция стационарного случайного процесса и ее свойства. Эргодичность стационарного случайного процесса по отношению к математическому ожиданию и автоковариационной функции. Достаточные условия эргодичности.
17. Интегрирование и дифференцирование случайных процессов. Достаточное условие дифференцируемости случайного процесса.
18. Неформальный вывод спектрального разложения стационарного случайного процесса. Спектральная плотность. Формулы Винера-Хинчина, связывающие спектральную плотность и автоковариационную функцию стационарного случайного процесса. Физическая интерпретация спектральной плотности.
19. Спектральное разложение стационарной случайной функции в комплексной форме. Формулы Винера-Хинчина.
20. Понятие белого шума. Определение стационарного белого шума, аналогия с белым светом. Нестационарный белый шум, пример, связанный со спектральным разложением стационарного случайного процесса.
21. Какую стационарную случайную функцию практически можно считать белым шумом. Как определить интенсивность реального белого шума? Примеры.
22. Полосовой белый шум. Понятие о дискретном белом шуме.
23. Спектральное разложение для случайных последовательностей. Аналоги формул Винера-Хинчина, спектральная плотность случайной последовательности.
24. Можно ли по заданной автоковариационной функции построить стационарный случайный процесс, реализации которого являются простыми гармониками, а его автоковариационная функция совпадает с заданной?
25. Укажите достаточные условия, при выполнении которых стационарный случайный процесс с автоковариационной функцией 
, стремящейся к нулю при 
, является эргодическим по отношению к .
26. Случайные процессы с марковским свойством, непрерывным временем и конечным числом состояний, переходные вероятности. Что означает однородность по времени таких процессов, сепарабельность и стохастическая непрерывность? Уравнения Колмогорова-Чепмена.
27. Теорема о существовании плотностей перехода из одного состояния в другое и выхода из данного состояния для однородного марковского процесса с конечным числом состояний, сепарабельного и стохастически непрерывного.
28. Прямая и обратная системы Колмогорова.
29. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний и система уравнений для стационарного распределения вероятностей состояний. Формулировка эргодической теоремы.
30. Что такое поток однородных событий? Какой случайный процесс обычно связывают с потоком однородных событий? Определение основных свойств потоков событий: а) стационарность; б) ординарность; в) отсутствие последействия; г) ограниченное последействие. Как определяется интенсивность потока?
31. Определение пуассоновского потока. Простейший поток событий и вывод для него формул для вероятностей появления k событий за время t. Какой закон распределения вероятностей времени между двумя последовательными событиями простейшего потока?
32. Потоки Пальма и Эрланга. Объясните, почему “поток Эрланга можно получить просеиванием” простейшего потока событий и как? В каком случае поток Пальма будет потоком с последействием?
33. Для системы массового обслуживания с ограниченной очередью без приоритетов, у которой входящий поток заявок простейший, а время обслуживания каналом заявки имеет показательное распределение, найти: а) плотность вероятностей перехода из одного состояния в другое и выхода из данного состояния; б) стационарное распределение вероятностей состояний системы; в) операционные характеристики для стационарного режима (средняя длина очереди, среднее время ожидания в очереди, вероятность отказа, вероятность, что заявка будет стоять в очереди, доля времени простоя обслуживающей системы, среднее число занятых каналов).
Типовые задачи к экзамену
1. Вычислить интеграл методом Монте-Карло:
а) 
б) 
, где область 
- единичный круг с центром в начале координат.
в) 
2. Схема последовательной во времени работы отдельных элементов изделия имеет вид
|
|
|
|
|
|
Изделие будет работоспособным во всех случаях, когда работоспособны элементы, составляющие одну из цепочек, соединяющих элементы 1 и 6. Методом Монте-Карло вычислить среднее время безотказной работы изделия, если:
а) время безотказной работы элементов 2, 3, 4 и 5 распределено с плотностью 
. Время безотказной работы элементов 1 и 6 распределено с плотностью 
.
б) время безотказной работы элементов 2,3,4,5 распределено с плотностью 
. Время работы элементов 1 и 6 распределено с плотностью 
.
3. Платная стоянка для автомобилей имеет 40 мест. Считается, что поток автомашин, прибывающих на стоянку – простейший с интенсивностью 15 авт./час. Известно, что время пребывания автомобиля на стоянке распределено с плотностью 
, средним 3 часа. Оплата почасовая: 15 руб/час. Определить среднюю выручку владельца за одну неделю.
4. Автозаправочная станция имеет 4 бензоколонки. Входящий поток автомашин простейший с интенсивностью 1.5 авт/мин. Если все колонки заняты, автомобиль уезжает. Время заправки распределено с плотностью 
и средним 4.84 мин.
Определить среднее число занятых колонок в установившемся режиме работы.
5. Покупатели магазина образуют поток Эрланга 5 порядка с интенсивностью 50 чел/час. Обслуживание производят 5 продавца, и время обслуживания распределено по экспоненциальному закону со средним 6 мин. Определить среднее число занятых продавцов в установившемся режиме работы.
Список рекомендуемой литературы.
Основная
1. , Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло: учеб. Пособие для студ. Вузов. М.:Издательский центр «Академия»,2006.
2. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие (под редакцией профессора В. ИЕрмакова). М.: ИНФРА-М, 2004.
3. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ,1999.
Дополнительная
1. , Михайлов статистического моделирования. М.: Наука, 1976.
2. , , Коваленко массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982.
3. Пугачев в теорию вероятностей. М.: Наука, 1968.
4. Скороход теории вероятностей и случайных процессов. Киев: Высшая школа, 1980.
5. , Овчаров случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1991.
6. Мельник -математические методы в планировании и управлении материально-техническим снабжением: учебник. – М.: Высшая школа, 1990.
