Данная дисциплина будет читаться в восьмом (последнем) семестре.
5. Содержание дисциплины
Модуль 1
Тема 1.1. Ряды Фурье
Комплексная форма записи ряда Фурье. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро и методом Пуассона-Абеля. Ядра Фейера и Пуассона. Аппроксимативная единица. Описание типов рядов Фурье.
Тема 1.2. Граничное поведение гармонических функций
Гармонические и аналитические функции. Представление гармоничесих функций в виде степенного ряда. Связь с рядами Фурье. Формула Пуассона. Неравенства и теорема Гарнака. Описание типов гармонических функций. Теорема Фату.
Тема 1.3. Формула Пуассона-Йенсена
Изолированные особые точки гармонических функций. Общий вид формулы Пуассона-Йенсена. Формула Пуассона-Йенсена для мерофных функций и для аналитических функций. Следствия формулы Пуассона-Йенсена.
Модуль 2
Тема 2.1. Субгармонические функции
Полунепрерывные функции. Субнармонические и супергармонические функции. Принцип гармонической мажоранты. Операции над субгармоническими функциям. Неравенство Йенсена. Примеры субгармонических функций.
Тема 2.2. Ограниченные аналитические функции
Гармоническая мера. Теоремы Линделёфа и Фрагмена-Линделёфа. Граничная теорема единственности для ограниченных аналитических функций.
Тема 2.3. Произведения Бляшке
Конечное произведение Бляшке. Условие сходимости произведения Бляшке. Свойства произведения Бляшке. Построение произведения Бляшке с заданными нулями.
Тема 2.4. Пространства 
и 
Определение. Соотношение между классами Харди и классом Неванлинны. Представление функций из в виде отношения двух ограниченных функций. Граничные свойства функций из и . Сходимость в среднем к граничным значениям функций из . Теорема Хинчина-Островского.
Тема 2.5. Пространство 
и М. Риссов. Конформное отображение областей со спрямляемыми границами. Теорема единственности Лузина-Привалова.
Модуль 3
Тема 3.1. Теорема Римана
Теорема Римана. Конформное отображение многосвязных областей.
Тема 3.2. Простые концы Каратеодори
Сечение области. Цепь сечений. Достижима точка. Простой конец и его носитель. Главные и смежные точки. Простые концы 1, 2, 3, 4 родов. Примеры областей.
Тема 3.3. Основная теорема о соответствии границ
Лемма Кёбе. Основная теорема К. Каратеодори. Конформное отображение жордановых областей.
Тема 3.4. Последовательности аналитических функций
Теорема Каратеодори о сходимости последовательности конформных отображений. Нормальные по Монтелю семейства аналитических функций. Принцип нормальности Монтеля. Модулярная функция. Теорема Пикара.
6. Планы семинарских занятий
Модуль 1
Тема 1.1. Ряды Фурье
Комплексная форма записи ряда Фурье. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро и методом Пуассона-Абеля. Ядра Фейера и Пуассона. Аппроксимативная единица. Описание типов рядов Фурье.
Тема 1.2. Граничное поведение гармонических функций
Гармонические и аналитические функции. Представление гармоничесих функций в виде степенного ряда. Связь с рядами Фурье. Формула Пуассона. Неравенства и теорема Гарнака. Описание типов гармонических функций. Теорема Фату.
Тема 1.3. Формула Пуассона-Йенсена
Изолированные особые точки гармонических функций. Общий вид формулы Пуассона-Йенсена. Формула Пуассона-Йенсена для мерофных функций и для аналитических функций. Следствия формулы Пуассона-Йенсена.
Модуль 2
Тема 2.1. Субгармонические функции
Полунепрерывные функции. Субнармонические и супергармонические функции. Принцип гармонической мажоранты. Операции над субгармоническими функциям. Неравенство Йенсена. Примеры субгармонических функций.
Тема 2.2. Ограниченные аналитические функции
Гармоническая мера. Теоремы Линделёфа и Фрагмена-Линделёфа. Граничная теорема единственности для ограниченных аналитических функций.
Тема 2.3. Произведения Бляшке
Конечное произведение Бляшке. Условие сходимости произведения Бляшке. Свойства произведения Бляшке. Построение произведения Бляшке с заданными нулями.
Тема 2.4. Пространства и
Определение. Соотношение между классами Харди и классом Неванлинны. Представление функций из в виде отношения двух ограниченных функций. Граничные свойства функций из и . Сходимость в среднем к граничным значениям функций из . Теорема Хинчина-Островского.
Тема 2.5. Пространство
и М. Риссов. Конформное отображение областей со спрямляемыми границами. Теорема единственности Лузина-Привалова.
Модуль 3
Тема 3.1. Теорема Римана
Теорема Римана. Конформное отображение многосвязных областей.
Тема 3.2. Простые концы Каратеодори
Сечение области. Цепь сечений. Достижима точка. Простой конец и его носитель. Главные и смежные точки. Простые концы 1, 2, 3, 4 родов. Примеры областей.
Тема 3.3. Основная теорема о соответствии границ
Лемма Кёбе. Основная теорема К. Каратеодори. Конформное отображение жордановых областей.
Тема 3.4. Последовательности аналитических функций
Теорема Каратеодори о сходимости последовательности конформных отображений. Нормальные по Монтелю семейства аналитических функций. Принцип нормальности Монтеля. Модулярная функция. Теорема Пикара.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум)
Не предусмотрены учебным планом ООП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ООП.
9. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа призвана закрепит теоретические знания и практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического материала, предусмотренного учебным планом ООП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную в разделе 11 данной рабочей программы. В указанном разделе расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые интернет-ресурсы. Подготовка теоретического сообщения на практическое занятие выполняется студентом самостоятельно, но по согласованию с преподавателем темы сообщения.
По дисциплине предусмотрено проведение контрольной работы. Ниже приведены примерные варианты задач.
Задачи к контрольной работе
1. Показать, что ряд 
есть ряд Фурье функции из 
, и найти эту функцию.
2. Если 
– функция ограниченной вариации на 
, то её коэффициенты Фурье 
.
2. Пусть чезаровские средние ряда 
сходятся к некоторому числу 
, и пусть 
. Доказать, что частичные суммы этого ряд также сходятся к .
3. Доказать, что если ряд сходится, то он суммируем и по Чезаро и по Абелю, причём к той же сумме.
4. Доказать, что если ряд суммируем по Чезаро, то он суммируем и по Абелю, причём к той же сумме.
6. Если ряд суммируем по Чезаро, то 
.
5. Привести пример ряда, суммируемого по Абелю и не суммируемого по Чезаро.
6. Если - функция ограниченной вариации, то в каждой точке 
, её ряд Фурье сходится к значению 
.
7. Пусть – непрерывная функция периода 
, имеющая ограниченную вариацию на . Доказать, что её ряд Фурье сходится равномерно.
8. Доказать, что частичные суммы ряда Фурье функции с ограниченной вариацией равномерно ограничены.
9. Пусть 
. Доказать, что 
(
).
10. Доказать, что если 
(
, то 
при 
.
11. Доказать, что при свёртка функций 
и 
лежит в 
. Доказать, что при 
свёртка – непрерывная функция.
12. Доказать, что если 
, то функция 
непрерывна.
13. Если функция 
гармоническая и 
гармоническая, то функция - аналитическая.
14. Если 
- гармоническая в круге функция и 
, то 
с некоторой постоянной 
.
15. Найти аналитическую функцию , если 
и 
.
16. Найти аналитическую функцию , если 
и .
17. Найти аналитическую функцию 
такую, что 
.
18. Доказать, что полунепрерывная сверху функция ограничена сверху на каждом компактном множестве.
19. Функция полунепрерывна сверху тогда и только тогда, когда она является пределом убывающей последовательности непрерывных функций.
20. Доказать, что 
субгармоническая, если и 
субгармонические.
21. Для того, чтобы субгармоническая в круге 
функция 
имела гармоническую мажоранту необходимо и достаточно, чтобы 
.
22. Если функция субгармонична в области 
и 
, то 
для любой окружности 
и 
для любого компакта 
.
23. Если 
и 
на последовательности точек 
с 
, то 
.
24. Если 
, то 
.
25. Если 
, то 
.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода баллов в оценки следующая:
Таблица 11
Баллы | Экзамен |
0-60 | Неудовлетворительно |
61-75 | Удовлетворительно (зачтено) |
76-90 | Хорошо |
91-100 | Отлично |
Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать экзамен. Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу дисциплины за семестр и три практических задачи из приведенных выше вариантов контрольных работ.
Вопросы к экзамену
1. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро и методом Пуассона-Абеля. Ядра Фейера и Пуассона.
2. Описание типов рядов Фурье и гармонических в круге функций.
3. Теорема Фату.
4. Формула Пуассона-Йенсена.
5. Субнармонические и супергармонические функции. Принцип гармонической мажоранты.
6. Неравенство Йенсена.
7. Теоремы Линделёфа
8. Теорема Фрагмена-Линделёфа.
9. Граничная теорема единственности для ограниченных аналитических функций.
10. Произведения Бляшке.
11. Классы и . Представление функций из в виде отношения двух ограниченных функций.
12. Теорема Хинчина-Островского.
13. Сходимость в среднем к граничным значениям функций из .
14. и М. Риссов.
15. Конформное отображение областей со спрямляемыми границами.
16. Теорема единственности Лузина-Привалова.
17. Теорема Римана.
18. Простые концы Каратеодори. Теорема Каратеодори о соответствии границ при конформном отображении.
19. Теорема Каратеодори о сходимости последовательности конформных отображений.
20. Принцип нормальности Монтеля.
21. Теорема Пикара.
10. Образовательные технологии
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекции является изложение теоретического материала и иллюстрации его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы: работа в малых группах, выполнение заданий в паре, взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1. Основная литература:
1. Привалов свойства аналитических функций, изд. 2-е. – М. – Л.: ГИТТЛ, 1950. – 336 с.
2. Банаховы пространства аналитических функций. – М.: ИЛ, 1963. – 312 с.
3. Голузин теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966. – 628 с.
4. Маркушевич аналитических функций. Т.2. – М.: Наука, 1968. – 624 с.
5. Введение в теорию пространств . – М.: Мир, 1984.
11.2. Дополнительная литература:
1. Субгармонические функции. – М.: Мир, 1980. – 304 с.
2. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984. – 470 с.
3. Голубев аналитические функции. Автоморфные функции. – М.: Физматгиз, 1961. – 456 с.
4. Теория предельных множеств. – М.: Мир, 1971. – 312 с.
5. Предельные множества. – М.: ИЛ, 1963. – 252 с.
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины.
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях, оснащенных мультимедийной техникой.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
