Математический анализ (стр. 5 )

Кроме того, мы считаем, что функции непрерывны в (при выполнении этих условий мы будем говорить: - непрерывно дифференцируемые функции от ) и что в любой точке из ранг матрицы равен 2. Это означает, что в любой точке хотя бы один из миноров этой матрицы не равен 0. Пусть, например, . Тогда по теореме о системе неявных функций (см. 2-й семестр) в некоторой окрестности уравнения можно решить и получить выражение через , т. е. . Тогда третье уравнение в окрестности рассматриваемой точки даст , т. е. мы получаем явное уравнение вида (1).

(Если , то имеем, по аналогии, , а если , то ).

Можно доказать (хотя мы этого не будем делать), что при сделанных выше предположениях уравнения (4) задают двустороннюю поверхность.

Обозначим вектор . Рассмотрим произвольную точку . Зафиксируем сначала и рассмотрим - кривую на поверхности. Тогда - вектор касательной к этой кривой. Аналогично, - вектор касательной к кривой .

Нормаль к поверхности является нормалью к касательной плоскости и перпендикулярна и . Условие означает, что и не параллельны. Поэтому в качестве нормального вектора можно взять (векторное произведение) или . Тогда единичные векторы нормали равны , при этом выбору верхней нормали соответствует выбор того же знака, что и знак числа , перед корнем (поскольку тогда ).

Выбор стороны поверхности задает ориентацию контуров, которые на ней лежат. Считаем, что контур обходится в положительном направлении, если “обходчик”, держащий “голову” в нормальном к поверхности положении видит ограничиваемую контугом часть поверхности слева от себя.

Отрицательное направление противоположно положительному.

Обратно, выбор положительного направления обхода контуров на поверхности задает выбор стороны этой поверхности.

Если поверхность состоит из нескольких частей, каждая из которых – двусторонняя поверхность, то можно соединить эти части в одну двустороннюю поверхность, согласовав ориентацию общих границ.

Например, в случае двух частей ориентация будет согласованной, если положительное направление движения по общей границе происходит от на поверхности и от на .

Это замечание позволяет говорить о внешней стороне замкнутой поверхности.

Например, для сферы: - верхняя полусфера, внешняя нормаль составляет острый угол с осью . - нижняя полусфера. Внешняя нормаль составляет тупой угол с осью .

и вместе составляют внешнюю сторону сферы. При этом положетельные направления обхода “экватора” противоположны друг другу на и на .

2.  Площадь двусторонней поверхности

Сначала определим понятие площади поверхности , заданной уравнением , где - непрерывная функция, обладающая непрерывными производными в некоторой квадрируемой области .

Предположим, что мы рассматриваем разбиение этой поверхности на части непрерывными кривыми. Под диаметром множества понимается точная верхняя грань расстояний между точками этого множества. Диаметр разбиения - это наибольший из диаметров получившихся частей. Обозначают его .

В каждой полученной части поверхности выберем точку и рассмотрим касательную плоскость к поверхности в этой точке. Пересечения касательных плоскостей ограничат многоугольники, которые образуют “панцирь” на поверхности. Этот “панцирь” состоит из плоских многоугольников и, следовательно, имеет площадь, равную сумме площадей его многоугольников.

Если при стремлении к 0 диаметра разбиения площади “панцирей” имеют конечный предел, то он и называется площадью поверхности. Это определение позволяет легко найти формулу для вычисления площади поверхности. Рассмотрим плоский многоугольник, нормаль к которому имеет направляющие косинусы . Можем считать, что .

	Без ограничения общности, достаточно рассматривать прямоугольник, причем, для простоты, считаем, что его проекция на плоскость есть прямоугольник со сторонами , а сам он имеет стороны .
Тогда и (). В общем случае .

Если нормали выбирались в точках , то пусть - их направляющие косинусы. Согласно сказанному выше, площадь “панциря” есть . Эта сумма является интегральной суммой для двойного интеграла . Как установлено в §1, , поэтому .

Если поверхность задана параметрически, то, как указывалось в §1, в окрестности любой ее точки ее возможно задать явным уравнением ( или или ).

Предположим, что поверхность, заданная параметрически, представляет собой конечное объединение частей, каждая из которых задана явным уравнением и рассмотрим одну из частей, для которой . Тогда площадь этой части, по доказанному выше, равна . Перейдем в этом интеграле к переменным , учитывая, что якобиан перехода – это как раз определитель , а , и пусть области соответствует область на плоскости . Тогда по теореме о замене переменных .

Легко проверить, что в случае уравнения или получится интеграл такого же вида: .

Объединяя все полученные части, получаем общую площадь , где - вся область изменения параметров .

Отметим, что выражение можно преобразовать к более удобному для вычислений виду.

Числа суть координаты . Поэтому - квадрат модуля вектора . Напомним, что модуль векторного произведения равен ( - угол между ). Значит, . Здесь ; и . Итак, и формула для площади поверхности, заданной параметрически, такова: .

3.  Поверхностные интегралы 1-го типа

Пусть - двусторонняя поверхность, имеющая площадь . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части с помощью непрерывных кривых. Пусть функция определена во всех точках поверхности . Выберем произвольным образом точки и рассмотрим сумму .

Определение. Пусть . Если , то мы говорим, что есть поверхностный интеграл 1-го типа от функции по поверхности и обозначаем это следующим образом: .

Отметим, что в определении интеграла первого типа сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности , поверхностная плотность которой в точке равна .

Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие формулы.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, . Тогда для любой непрерывной на поверхности функции .

Замачание 1. Если поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, то . Аналогично, в случае задания поверхности уравнением при аналогичных условиях на область и функцию .

Теорема 2. Если поверхность задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции на . Пусть непрерывна на . Тогда .