Математический анализ (стр. 7 )

Доказательство. Предположим, что ограничено сверху - графиком функции , снизу - , , а сбоку – цилиндрической поверхностью .

Вычислим , т. к. на внешняя нормаль составляет с осью тупой угол.

Далее, на и можно добавить к сумме слагаемое .

Итак, .

Далее, если поверхность можно представить в виде объединения поверхностей и цилиндрической поверхности, то ,и, при аналогичных условиях, .

Поэтому, если поверхность удовлетворяет условиям всех трех случаев, то .

Теперь предположим, что состоит из конечного числа тел , разделенных гладкими поверхностями , причем эти тела удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть .

Тогда . Каждый из интегралов преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса как , где взяты внешние стороны поверхностей .

Поверхности имеют общую часть , причем их внешние нормали на противоположны и интегралы по от взаимно сократятся, поэтому .

Тем самым, теорема доказана.

Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Элементы теории поля

1.  Скалярное и векторное поле

Определение. Скалярное поле на области () представляет собой произвольную функцию , определенную на .

Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения при заданных значениях .

Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т. д.

Векторное поле на области (или ) – это вектор, координаты которого являются функциями, определенными на .

Примеры представляют собой силовое поле, поле скоростей и т. п.

2.  Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля

Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т. е. ) по направлению , . Понятие величины отрезка определяется аналогично и для . Напоминаем: величина отрезка представляет собой его длину со знаком “+”, если векторы и одинаково направлены и длину со знаком “-”, если их направления противоположны. Тогда, по определению, .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости в т. легко вывести формулу:

, где - градиент скалярного поля в точке .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т. к. - единичный вектор.

Таким образом, , причем равенство наступает при условии . Наибольшее значение по всем выборам , таким образом, есть , а направление градиента – это как раз тот вектор , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора определено без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.

Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.

( - дифференцируемая функция)

Пример. Найдем , где - модуль радиус-вектора .

и .

По формуле 5 из этого равенства следует:

Мы получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции .

Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т. е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что - непрерывно дифференцируемая функция от . Тогда уравнение касательной плоскости в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид .

Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому - нормаль к касательной плоскости в т. и, по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.

3.  Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса

Пусть - векторное поле, - двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона, т. е. нормаль . Назовем - потоком вектора через поверхность в указанную сторону.

Этот термин совпадает со следующей гидродинамической задачей. Пусть - вектор скорости течения жидкости в момент . Посчитаем, сколько жидкости пройдет через малую часть поверхности за момент времени . Этот объем жидкости представляет собой цилиндр с основанием и высотой , т. е. этот объем равен .

Тогда для всей воверхности получим . Таким образом, поток представляет собой скорость изменения количества протекающей через жидкости в рассматриваемый момент времени.

Пусть векторное поле задано в выбранной системе координат как . Назовем дивергенцией скалярное поле (при условии, что эти частные производные существуют).

Легко доказать, что:

. Здесь - скалярное поле и символ обозначает скалярное произведение этих векторов.

Вспомним формулировку теоремы Остроградского-Гаусса: , где - непрерывно дифференцируемое векторное поле, - замкнутая поверхность, ограничивающая объем и - вектор внешней нормали.

Левая часть формулы имеет вид , т. е. представляет собой поток через внешнюю сторону , а правую часть можно выразить следующим образом: . Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:

При сформулированных выше условиях .

Понятие можно определить независимым от координат способом. Для этого рассмотрим точку , окружим ее шаром радиуса и применим теорему Остроградского-Гаусса: , где - вышеупомянутый шар, а - внешняя сторона ограничивающей его сферы. К правой части применим теорему о среднем (учитывая непрерывность ): , где - близкая к точка. При и мы можем определить дивергенцию равенством: , в правой части которого система координат не фигурирует.

Если считать вектором скорости жидкости, то - это плотность источника.

4.  Соленоидальное поле

Определение. - соленоидальное поле, если .

Векторная линия обладает тем свойством, что в любой ее точке вектор касательной к линии совпадает с .

Векторная трубка – это совокупность векторных линий.

Пусть - сечения векторной трубки и - ее боковая поверхность. . Рассмотрим внешнюю нормаль к и применим теорему Остроградского: , в случае соленоидального поля. Итак, . На по определению векторной линии , поэтому или . Изменяя направление нормали на на противоположное получаем, что поток соленоидального поля через поперечные сечения векторных трубок постоянен.

5.  Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса

Пусть - контур с заданным направлением обхода, - векторное поле, - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл (смысл – работа силы вдоль контура ).

Введем систему координат. Пусть - направляющие косинусы , - координаты .

Тогда и циркуляция представляет собой интеграл .

Для заданного непрерывно-дифференцируемого поля определин ротор (или вихрь) этого поля: .

Легко проверить свойства ротора.

, где под понимаем векторное произведение.

Вспомним теперь теорему Стокса: , где - непрерывно дифференцируемые функции, - кусочно гладкая поверхность, - ее край, причем направление обхода относительно выбраной стороны является положительным.

Вспомним, что , где - направляющие косинусы к выбранной стороне.

При этом правая часть формулы Стокса принимает вид или . Итак, в сделанных выше предположениях теорема Стокса выглядит так: .

Получим определение без использования системы координат. Пусть - точка, - плоскость, в которой лежит окружность радиуса с центром в .

Тогда по теореме о среднем ввиду непрерывности подынтегральной функции. Здесь точка близка к . По теореме Стокса, или

.

Ввиду произвольности выбора плоскости, получаем проекцию на произвольную ось . Это определяет и сам вектор.

Легко вычислить, что .

Можно доказать и обратное. Если область односвязная и векторное поле удовлетворяет условию , то - потенциальное, т. е. существует функция такая, что .

Отметим, что выводы о независимости интеграла от формы пути интегрирования, сделанные для двумерного случая, полностью переносятся и на трехмерный. Полученное там условие и вполне аналогичны.