Математика (стр. 2 )

140.  1) y = ln(x + Öx2 + 1 ); 2) y = x –sin2x ;

3) y = 2/(x –1) + 1/(x2 – 1); 4) sin(x + y) + cos(x2 + y2) = 1.

141.-160. Построить график функции, используя общую схему исследования функции.

141. y = (x2 + 2x + 2)/(2 + x2) . 142. y = (4 + x2)/(9 – x2).

143. y = (2 + 3x2)/(1 + x2). 144. y = (x3 + 2x2 + 2)/(x2 + 1).

145. y = (x2 + 3x + 5)/(x – 1). 146. y = (3x3 – 2)/x.

147. y = (2x2 +3x + 1)/(x – 2). 148. y = x3/(x3 + 1).

149. y = (3 – 9x2)/(1 – 9x2). 150. y = (x3 + 8)/(x3 – 8).

151. y = x e 2x – 1 . 152. y = ln(x2 – 9).

153. y = (1 + x2)exp(-x2). 154. y = lg(4 + x2).

155. y = exp(2/(1 – x)) . 156. y = ln(16 – x2).

157. y = x2 + 1 + 2lnx. 158. y = exp(1 + 4x – 2x2).

159. y = (2 + x)exp(x - x2)). 160. y = (1 – x) -0.5 lg(1 – x).

161.-170. Составить уравнение касательной и нормали:

1)  к графику кривой y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x0;

2)  к графику кривой x = x(t), y = y(t) в точке, для которой параметр t равен t0.

Построить графики кривых, касательных и нормалей. Для каждой кривой найти кривизну в указанных точках.

161. 1) y = -Ö(9 – x2)/3 , x0 = -3/2; 2) x = 3cost, y = Ö 3 sint, t0 = - p/3.

162. 1) y = Ö4 – 8x2, x0 = -1/2; 2) x = -1/Ö2 cost, y = -2 sint, t0 = 5p/4.

163. 1) y = Ö16 – 4x2 , x0 = 1; 2) x = -2 sint, y = - 4 cost, t0 = 5p/6.

164. 1) y = -Ö8 – 3x2 , x0 = -Ö 2 ; 2) x = 2Ö 2/3 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = - p/6.

165. 1) y = -Ö25 – 5x2 , x0 = -0.5Ö 5 ; 2) x = -Ö 5 sint, y = 5 cost, t0 = 7p/6.

166. 1) y = Ö(4 – x2)/2 , x0 = Ö 2 ; 2) x = 2sint, y = Ö 2 cost, t0 = - p/4.

167. 1) y = Ö8 – 4x2 , x0 = -1; 2) x = Ö 2 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = p/4

168. 1) y = Ö(7 – x2)/2 , x0 = -0.5Ö 7 ; 2) x = Ö 7 cost, y = Ö7/2 sint, t0 = p/3.

169. 1) y = -Ö2(4 – x2) , x0 = -1; 2) x = 2 sint, y = 2Ö 2 cost, t0 = 5p/6.

170. 1) y = -Ö4 – 8x2 , x0 = -1/2; 2) x = 1/Ö 2 cost, y = 2 sint, t0 = 5p/4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

171.-180. Даны функция u = f(x, y,z) и точки A(x0; y0; z0) и B(x1; y1; z1). Требуется:

1)  вычислить значение u1 функции в точке В;

2)  вычислить приближенное значение u1 функции в точке В, исходя из значения u0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом;

3)  составить уравнение касательной плоскости к поверхности f(x, y,z)=C в точке А.

171. u = x2 + xyz + z2 , A(1; 2; 1), B(1.05; 1.95; 0.96), C = 4.

172. u = x2z – xy + z2 , A(1; 3; -1), B(0.95; 3.08; -0.96), C = -3.

173. u = x2 + 2xz + y2z, A(4; 1; 0), B(4.1; 1.04; -0.1), C = 16.

174. u = z2 – y2 + x + y + z, A(-2; 3; 1), B(-2.1; , C = -6.

175. u = xy + yz + xz, A(2; 1; 2), B(1.96; 0.95; 2.1), C = 8.

176. u = x2 +y2 + z2 +x – z, A(1; -1; 1), B(1.04; -1.02; 0.95), C = 3.

177. u = 4 – xy2 +yz, A(-2; 1; 3), B(-2.1; 1.04; 3.1), C = 9.

178. u = x(y + z) – z2 , A(-1; 2; 1), B(-0.95; 2.1; 0.95), C = - 4.

179. u = x2 – y2 + z2 + yz, A(1; 1; -1), B(1.08; 0.92; -1.08), C = 0.

180. u = 2x – z + 2y2 + xz, A(4; -1; 1), B(3.95; -1.05; 1.05), C = 13.

181.-190. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = f(x; y) в области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.

181. f(x; y) = x2 + 2y2 – 5xy, x ³ -1, y ³ -1, x + y £ 1.

182. f(x; y) = x2 – 3y2 + 6xy + 4, |x| + |y| £ 1.

183. f(x; y) = x2 + 2xy +3y + 4, y £ 5 - x2, y ³ 1.

184. f(x; y) = x2 + 2y2 – 2x – 4y + 5, 1 £ |x + y| £ 2, x ³ 0, y ³ 0.

185. f(x; y) = 2y2 + 6xy – 13x +2, x ³ y2 + 1, y ³ (x – 1)/2.

186. f(x; y) = 2x2 + 2y2 – 10x + 13y + 1, x ³ 2, y £ -3, y ³ x – 6.

187. f(x; y) = x2 + 3y2 + xy – 2x – y + 4, |x - 1| + |y| £ 1.

188. f(x; y) = 2x2 + 2xy – 3y + 5, 0 £ y £ x2 , |x| £ 1.

189. f(x; y) = 3x2 + 2y2 – 12x + 4y + 7, 2 £ x – y £ 4, x ³ 0, y £ 0.

190. f(x; y) = y2 + 2xy + 3x + 11, -3 £ x £ - y2 + 1.

191.-200. Дано скалярное поле u = u(x, y). Требуется:

1) составить уравнение линии уровня u = C и построить эту линию; __

2) в точке А найти градиент и производную по направлению вектора АВ;

3) в точке А построить касательную и нормаль к линии уровня, получив их уравнения.

191. u = x2 + 4y2 + 4x + 4y, C = 13, A(1, -2), B(2, 4).

192. u = x2 + 9y2 + 2x - 6y, C = 2, A(-1, 1), B(0, 4).

193. u = 4x2 + y2 + 4x - 4y, C = 36, A(2, -2), B(1, 1).

194. u = 9x2 + y2 - 6x - 2y, C = 6, A(1, 3), B(3, 0).

195. u = x2 + 4y2 + 2x - 8y, C = 20, A(2, 3), B(1, 4).

196. u = 25x2 + y2 + 10x + 2y, C = 14, A(-1, -1), B(2, 4).

197. u = 4x2 + 9y2 - 4x - 12y, C = 8, A(2, 0), B(-1, -1).

198. u = 9x2 + 4y2 - 12x - 4y, C = 8, A(0, 2), B(2, 5).

199. u = x2 + 25y2 - 2x + 20y, C = 165, A(2, -3), B(2, 1).

200. u = x2 + 4y2 + 2x - 4y, C = 35, A(5, 1), B(5, 4).

201.-210. Значения функции, полученные экспериментально, приведены в таблице. Методом наименьших квадратов найти наилучшую линейную аппроксимацию экспериментальной зависимости. На плоскости (x, y) построить полученную прямую и точки, заданные табл.1.

Таблица 1

201.	x	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
y	- 2.0	- 0.5	- 0.5	1.0	1.5	2.4	3.2	4.0
202.	x	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
y	6.0	4.5	4.5	2.8	1.0	-0.5	-1.5	-2.8
203.	x	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0
y	- 5.0	- 4.0	-2.5	-2.5	-1.0	- 0.5	1.2	2.0
204.	x	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0
y	6.5	5.2	3.5	3.5	1.6	0.2	- 1.5	- 2.5
205.	x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
y	- 0.2	0	0	0.1	0.15	0.25	0.3	0.4
206.	x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
y	0.6	0.45	0.4	0.3	0.1	- 0.1	- 0.2	- 0.3
207.	x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
y	- 0.5	- 0.4	- 0.25	- 0.25	- 0.1	0	0.1	0.2
208.	x	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0
y	2.0	3.0	6.5	7.5	10	12.5	13.5	16.5
209.	x	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
y	2.0	0.5	0.5	-1.5	-1.5	-3.0	-4.2	-5.2
210.	x	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
y	- 4.0	-2.5	- 2.5	- 1.0	0.5	0.5	2.2	3.0

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

211.-220. Найти неопределенные интегралы.

211. а) ò exp(- 8x3)x2 dx; б) ò x tg2x dx ; в) ò (6x3 –7x2 – 3x) – 1 dx.

212. а) ò tg(5x + 3)dx; б) ò ln(x2 + 1) dx; в) ò (x3 – 1)(4x3 – x) – 1 dx.

213. а) ò ctg(2x–3)dx; б) ò ln2x dx; в) ò x2(x3+5x2+ 8x + 4)– 1dx.

214. а) ò x – 1cos2(1 + lnx)dx; б) ò arcsin2x dx; в) ò (x3 + 1)(x3 – x2) – 1 dx.

215. а) ò cos4x sin2x dx; б) ò x2arctgx dx; в) ò (x2 + 1)(x3+x2–x–1)–1dx.

____

216. а) ò 2x /Ö1 –4x dx ; б) ò x – 2 ln 3x dx ; в) ò (x4+1)(x3–x2+x–1) – 1 dx.

_

217. а) ò x (3x + 2) – 1 dx ; б) ò (1 – x) – 1/2arcsinÖx dx ; в) ò x (x3 – 3x + 2)-1dx.

218. а) ò ex(e2x + 4) – 1 dx ; б) ò x ln((1 + x)(1 – x) – 1 ) dx ; в) ò x (xdx.

219. a) òe – x(e2x–1) dx ; б) ò x-5/2 ln2x dx ; в) ò 32x/( (2x–1)(4x2 – 16x + 15) )dx

_

220. а) ò (3x – 1)(x2 + 9) – 1 dx ; б) ò eÖx dx ; в) ò x2/(x3 + x2 + x + 1) dx.

221.-230. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

µ 1 1

221. ò (x2 + 2x + 2) – 1 dx . 222. ò x – x2) -5/3 dx. 223. ò x lnx dx.

- µ 0 0

µ µ

224. ò x sinx dx. 225. ò x – 2 (x + 1) – 1 dx.

0 1

1 _ µ 1

226. ò(√x – 1) – 1 dx. 227. ò x3 exp(- x2) dx. 228. ò(ex – cosx) –1 dx

0 0 0

µ 1

229. ò x (x + 1) – 3 dx. 230. ò x – 3/2 (1 –x) – 3/4 dx.

0 0

231.-240. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых даны.

231. y = 1/(1 + x2) , y = x2/2. 232. y = x2 , y = x3/3 .

233. y = ex, y = e – x, x = 1. 234. y2 = 2x + 1, x – y – 1 = 0.

235. y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48 . 236. y = x(x – 1)2, y = 0.

237. (y – x – 2)2 = 9x, x = 0, y = 0. 238. y = (x2 + 2x)e – x, y = 0.

239. x = y2(y – 1), x = 0. 240. y = x – x5/2, y = 0.

241.-250. Вычислить длины дуг кривых, заданных следующими уравнениями.

241. y = x2/4 – 0,5lnx, 1 £ x £ 2.

242. x = 5(t – sint), y = 5(1 – cost), 0 £ t £ p.

_

243. r = Ö2ej, - p/2 £ j £ p/2. 244. y = - ln cosx, 0£x£p/6.

245. x = 3(2cost – cos2t), y = 3(2sint – sin2t), 0 £ t £ 2p.

246. r = 1 - sinj, - p/2 £ j £ - p/6 . 247. y = ln(x2 – 1), 2 £ x £ 3.

248. x = 4(cost + t sint), y = 4(sint – t cost), 0 £ t £ 2p.

249. r = 8cosj, 0 £ j £ p/4. 250. y = (e2x+e-2x+3)/4, 0 £ x £ 2.

Дифференциальные уравнения

251.-260. Найти общее решение дифференциального уравнения.

251. xy'-2y=x3ex. 252. (x+1)y'-2y=(x+1)4.

253. x2y'+2xy=cosx. 254. xy'+y=x+1.

255. y'cosx - ysinx=4x3. 256. y'-ycosx= exp(sinx).

257. x2 y'+2xy=1. 258. y'+2xy=2x exp(-x2).

259. 2xy'-y=2x3/2cosx. 260. y'+ytgx=2xcosx.

261.-270. Найти общее решение дифференциального уравнения.

261. y"y3=1. 262. y"'=(y")3.

263. y" (x-1)-y'=x(x-1)2. 264. (1+x2)y"+1+(y')2=0.

265. yy"+(y')2=0. 266. xy"=y'ln(y'/x).

267. (1-x2)y"=xy'. 268. y"x+y'=x2.

269. xy"'+y"=1+x. 270. y"=-(x/y').

271.-280. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

271. y"-9y=e-2x; y(0)=0, y'(0)=0.

272. y"-4y=x-1; y(0)=0, y'(0)=0.

273. y"+2y'+y=cosx; y(0)=0, y'(0)=0.

274. y"+3y'+2y=1+x+x2; y(0)=0, y'(0)=1.

275. y"+2y'+5y=13e2x; y(0)=1, y'(0)=4.

276. y"+2y'-8y=16x+4; y(0)=2, y'(0)=6.

277. y"+4y'-12y=8sin2x; y(0)=0, y'(0)=0.

278. y"-4y'+13y=26x+5; y(0)=1, y'(0)=0.

279. y"+y=cos3x; y(p/2)=4, y'(p/2)=1.

280. y"-4y'+3y=e5x; y(0)=3, y'(0)=9.

281.-290. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения.

281. x1'+x1-3x2=0, x2'-2x1=0. 282. x1'-4x1+x2=0, x2'+2x1-5x2=0.

283. x1'-x1+2x2=0, x2'+3x1-6x2=0. 284. x1'+5x1+4x2=0, x2'+2x1+3x2=0.

285. x1'-6x1-3x2=0, x2'+8x1+5x2=0. 286. x1'-3x1+2x2=0, x2'-2x1-8x2=0.

287. x1'+5x1+8x2=0, x1'+3x1+3x2=0. 288. x1'-x1+x2=0, x2'-x1-x2=0.

289. x1'+4x1-x2=0, x2'+2x1+x2=0. 290. x1'+x2=0, x2'-2x1-2x2=0.

291.  Найти интегральную кривую уравнения y"-k2y=0 (k¹0), которая касается прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0, y0).

292.  Тело массой m падает с высоты h под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости с коэффициентом k. Начальная скорость тела равна нулю. Найти закон движения тела.

293.  Тело массой m скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость V0. На тело действует сила трения, равная –km. Найти расстояние, которое тело пройдет до полной остановки.

294.  Найти интегральную кривую уравнения y"+k2y=0 (k¹0), касающуюся прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0, y0).

295.  Найти уравнение кривой, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания. Кривая проходит через точку (2;1).

296.  Материальная точка массы m перемещается по прямой под влиянием внешней силы F=Asinwt и восстанавливающей силы, которая направлена к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональна расстоянию точки от начала отсчета с коэффициентом k=4mω2. Сопротивление среды отсутствует. Определить закон движения материальной точки, если при t=0 она находилась в начале отсчета с нулевой скоростью.

297.  Найти уравнение кривой, подкасательная которой имеет постоянную длину a. Кривая проходит через точку (a;e).

298.  Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;1), если отрезок касательной к кривой, заключенный между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy.

299.  Найти уравнение кривой, у которой сумма координат точки касания равна удвоенной подкасательной. Кривая проходит через точку (1;1).

300.  Найти интегральную кривую уравнения y¢sinx=ylny, проходящую через точку (p/2;1).

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

301.-310. Исследовать на сходимость ряд.

¥ ¥

301. å 1/( n – cos26n ). 302. å (n!)2/[(3n + 1)(2n)!]

n=1 n=1

¥ ¥

303. å (2n + cos n)/(3n + sin n). 304. å (3n + 2)!/(10nn2).

n=1 n=1

¥ ¥

305. å ln [(n2+1)/(n2 + n + 1)]. 306. å (n! n⅓)/(3n + 2).

n=1 n=1

¥ ¥

307. å [4n – 1 (n2 + 5)½]/[(n–1)!]. 308. å (3 + 7n)/( 5n + n).

n=1 n=1

¥ ¥

309.  å n sin(n – 4/3). 310. å [n!(2n + 1)!]/[(3n)!]

n=1 n=1

311.-320. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды.

311. . 312.

313. 314.

315. 316.

317. 318.

319. 320.