Математика (стр. 1 )

Министерство образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников всех специальностей

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2008

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса “Математика”, используя учебную литературу. Список рекомендуемой литературы приведен в методических указаниях. Студент может использовать также учебники и учебные пособия, не включенные в данный список, если эти пособия содержат соответствующие разделы учебного курса.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать название учебной дисциплины, номер контрольной работы, а также полностью фамилию, имя и отчество студента, его адрес, специальность, номер студенческой группы, шифр (номер зачетной книжки) и дату отправки работы в институт.

Задачи контрольной работы выбираются в соответствии с указаниями преподавателя из таблиц вариантов. Вариант определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки. Предпоследняя цифра номера определяет таблицу вариантов, последняя цифра номера определяет столбец в выбранной таблице. Представленная для рецензирования контрольная работа должна содержать все задачи, указанные преподавателем. Решения задач следует приводить в той последовательности, которая определена в таблице вариантов. Условие каждой задачи должно быть приведено полностью перед ее решением. Контрольная работа должна быть подписана студентом.

Зачет по контрольной работе выставляется по результатам рецензирования и собеседования. Перед собеседованием студент обязан исправить в работе ошибки, отмеченные рецензентом.

Зачет по контрольным работам является обязательным для допуска к сдаче зачетов и экзаменов, которые предусмотрены учебным планом.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Беклемишев аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Высш. шк., 1998. – 320 с.

2.  Клетеник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1986. – 224 с.

3.  Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч.1. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под общ. ред. и . – М.: Наука, 1993. – 480 с.

4.  Пискунов и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. Т.1. – М.: Наука, 1976. – 456 с.

5.  Пискунов и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. Т.2. – М.: Наука, 1985. – 560 с.

6.  Кудрявцев математического анализа. В 2 т. Т.1. – М.: Высш. шк., 1988. – 712 с.

7.  Кудрявцев математического анализа. В 2 т. Т.2. – М.: Высш. шк., 1988. – 576 с.

8.  Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. . – М.: Наука, 1978. – 480 с.

9.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1. – М.: Высш. шк., 1996. – 304 с.

10.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2. – М.: Высш. шк., 1996. – 576 с.

11.  Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. шк., 1998. – 479 с.

12.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. шк., 1998. – 400 с.

13.  Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч.4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения / Под. ред. . – М.: Наука, 1993. – 304 с.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1.-10. Векторы a, b, c, d заданы координатами в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис в пространстве, и найти координаты вектора d в этом базисе.

1. a=(3;2;2), b=(2;3;1), c=(1;1;3), d=(5;1;11).

2. a=(1;2;3), b=(-2;3;-2), c=(3;-4;-5), d=(6;20;6).

3. a=(4;2;5), b=(-3;5;6), c=(2;-3;-2), d=(9;4;18).

4. a=(1;2;4), b=(1;-1;1), c=(2;2;4), d=(-1;-4;-2).

5. a=(2;3;3), b=(-1;4;-2), c=(-1;-2;4), d=(4;11;11).

6. a=(1;8;4), b=(1;3;1), c=(-1;-6;-3), d=(1;2;3).

7. a=(7;4;2), b=(-5;0;3), c=(0;11;4), d=(31;-43;-20).

8. a=(3;2;1), b=(4;-1;5), c=(2;-3;1), d=(8;-4;0).

9. a=(1;3;3), b=(-4;1;-5), c=(-2;1;-6), d=(-3;5;-9).

10. a=(1;5;3), b=(2;1;-1), c=(4;2;1), d=(31;20;9).

11.-20. Даны координаты точек A1, A2, A3, A4. Известно, что отрезки A1A2, A1A3, A1A4 являются смежными ребрами параллелепипеда. Требуется найти:

1)  длину ребра A1A2 ; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A3 ; 3) площадь грани, содержащей вершины A1,A2,A3; 4) объем параллелепипеда; 5) уравнение прямой, проходящей через вершину A1 вдоль диагонали параллелепипеда; 6) уравнение плоскости A1A2A3; 7) угол между ребром A1A4 и гранью, содержащей вершины A1,A2,A3; 8) расстояние от вершины A4 до плоскости A1,A2,A3. Сделать чертеж.

11. A1(0;3;2), A2(-1;3;6), A3(-2;4;2), A4(0;5;4).

12. A1(4;2;5), A2( 0;7;2), A3( 0;2;7), A4(1;5;0).

13. A1(-1;2;0), A2(-2;2;4), A3(-3;3;0), A4(-1;4;2).

14. A1(4;4;10), A2(4;10;2), A3(2;8;4), A4(9;6;4).

15. A1(2;2;3), A2(1;2;7), A3(0;3;3), A4(2;4;5).

16. A1(4;6;5), A2(6;9;4), A3(2;10;10), A4(7;5;9).

17. A1(0;-1;2), A2(-1;-1;6), A3(-2;0;2), A4(0;1;4).

18. A1(3;5;4), A2(8;7;4), A3(5;10;4), A4(4;7;8).

19. A1(3;0;2), A2(2;0;6), A3(1;1;2), A4(3;2;4).

20. A1(10;6;6), A2(-2;8;2), A3(6;8;9), A4(7;10;3).

21. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x+2y+1=0 и 2x+y-3=0. Центр параллелограмма находится в точке A(1;2). Найти уравнения двух других сторон. Сделать чертеж.

22. Даны две вершины треугольника A(2;1), B(4;9) и точка пересечения высот N(3;4). Найти уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

23. Даны две противоположные вершины квадрата A(1;3) и C(-1;1). Найти координаты двух его других вершин и составить уравнения сторон. Сделать чертеж.

24. Найти уравнения сторон треугольника, если заданы его вершина A(1;3) и уравнения двух медиан x-2y+1=0, y-1=0. Сделать чертеж.

25. Известны уравнение одной из сторон квадрата x+3y-3=0 и точка пересечения диагоналей N(-2;0). Найти уравнения остальных ее сторон. Сделать чертеж.

26. Уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 2x-y+8=0, x-2y-12=0. Точка N(4;0) лежит на основании треугольника. Найти уравнение основания. Сделать чертеж.

27. Найти уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2;-7), а также уравнения высоты 3x+y+11=0 и медианы x+2y+7=0, проведенных из различных вершин. Сделать чертеж.

28. Точка A(5;-4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x-7y-8=0. Написать уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата. Сделать чертеж.

29. Уравнение основания равнобедренного треугольника x+y-1=0, уравнение боковой стороны x-2y-2=0. Точка N(-2;0) лежит на другой боковой стороне. Найти уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

30. Даны уравнения медиан треугольника 5x+4y=0 и 3x-y=0 и одна из его вершин A(-5;2). Найти уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

31. Составить уравнение и построить окружность, проходящую через точки A(1;2), B(0;-1) и C(-3;0).

32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(0;1) в два раза меньше расстояния ее до прямой y-4=0.

33. Составить уравнение и построить линию, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A(-3;0) и B(3;0) равна 50.

34. Составить уравнение и построить линию, расстояние от каждой точки которой до точки A(-1;1) вдвое меньше расстояния до точки B(-4;4).

35. Составить уравнение и построить линию, сумма расстояний от каждой точки которой до точек A(-2;0) и B(2;0) равна 2.

36. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки F(2;2) и оси Ox.

37. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки A(2;0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5:4.

38. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки A(5;0) относятся как 2:1.

39. Составить уравнение и построить гиперболу, проходящую через точку N(9;8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения y=±(2/3)x.

40. Составить уравнение и построить гиперболу, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса 5x2+8y2=40.

41.-50. Кривая задана уравнением в прямоугольной системе координат. Требуется: 1) найти уравнение кривой в полярной системе координат, полюс которой совмещен с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось – с положительной полуосью Ox; 2) построить кривую по точкам со значениями полярного угла φk=kπ/16.

41. (x2+y2)2 = 2(x2-y2) ; 42. (x2+y2)2 = 4xy ;

43. (x2+y2)2/4 = x2-y2 ; ` 44. (x2+y2)2 = 8xy ;

45. (x2+y2)2 = 6(x2-y2) ; 46. (x2+y2)2 = 2(y2-x2) ;

47. (x2+y2)2 = - 4xy ; 48. (x2+y2)2 = 4(y2-x2) ;

49. (x2+y2)2 = - 8xy ; 50. (x2+y2)2 = 12xy.

Элементы алгебры

51.-60. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

51. 52.

ì3x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 5, ì x1+2x2+ x3+6x4+ x5=4,

í2x1- x2+3x3 = 4, í3x1- x2- x3+ x4+ =1,

î 5x2+6x3+ x4+ =11. î x1+3x2+5x3 =9.

53. 54.

ì3x1- x2+ x3+6x4+ x5=6, ì5x1+ x2+ x3+3x4+ x5=5,

í x1+ 5x3+ x4-7x5 =6, í -2x2+4x3+ x4+ x5=3,

î x1+2x2+3x3+ x4+ x5 =6. î x1-3x2+5x3 =2.

55. 56.

ì- x1+ x2+ x3+2x4+ x5=4, ì-2x1 - x2+2x3 =2,

í2x1 + x3 -3x4+5x5=3, í x1+ x2+4x3+ x4+3x5=8,

î3x1 - x3+6x4+ x5=6. î3x1+ x2 - x3 =5.

57. 58.

ì2x1+ x3 - x4+ x5=2, ì 6x1+ x2+ x3+ 2x4+ x5=9,

í4x1+ x2+ 3x3+ x4+2x5=7, í- x1 - x3+ 7x4+8x5=14,

î- x1+ x3+2x4+ x5=2. î x1+ 2x3+ x4+ x5=3.

59. 60.

ì-2x1+ 3x3+ x4+ x5=5, ì2x1+ 3x3+ x4 =4,

í 3x1+ x2+ x3+6x4+2x5=9, í x1 - x3+2x4+3x5=4,

î- x1+ 2x3 - x4+2x5=3. î3x1+3x2+6x3+3x4+6x5=15.

61.-70. Для данной матрицы A построить обратную матрицу A-1. Правильность построения обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.

61. é3 2 1ù 62. é 1 -5 3ù 63. é4 -3 2ù

A= ê2 3 1 ê A= ê 2 4 1 ê A= êê

ë2 1 1û . ë-3 3 -7û . ë5 6 -2û .

64. é-2 5 -6ù 65. é2 -1 -1ù 66. é3 -9 8ù

A= ê ê A= êê A= ê2 -5 5 ê

ë 4 2 -1û . ë3 -2 4û . ë2 -1 1û .

67. é1 1 -1ù 68. é2 3 1ù 69. é7 -5 0ù

A= êê A= ê4 -1 5 ê A= ê4 0 11ê

ë4 1 -3û . ë1 -2 4û . ë2 3 4û .

70. é1 7 -2ù

A= ê3 5 1 ê

ë-2 5 -5û .

71.-80. Определить собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы второго порядка.

71. é-1 3 ù 72. é4 -1ù 73. é-6 5ù 74. é-4 -3 ù

ë2 0 û . ë-2 3û . ë 2 -3û . ë-2 1 û

75. é-3 2 ù 76. é1 -2ù 77. é 4 -1ù 78. é-1 3ù

ë 5 -6û . ë-3 -4û . ë-2 5û . ë2 -2û .

79. é 1 -2 ù 80. é1 2ù

ë-3 6 û . ë3 2û .

81.-90. Дано комплексное число z. Требуется:

1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2)  найти все корни уравнения w3+z=0, изобразить эти корни на плоскости комплексной переменной.

_ _ _

81. z=8/(1+iÖ3). 82. z=-Ö8/(1+i). 83. z=Ö8/(1-i).

_ _ _

84. z=2/(1-iÖ3). 85. z=-2/(-i+Ö3). 86. z=1/(Ö3+i).

_ _ _

87. z= - 4/(1-iÖ3). 88. z=-Ö8/(-i+1). 89. z=Ö8/(1+i).

_

90. z=1/(Ö3-i).

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

91.-100. Построить график функции y = f(x) посредством преобразования графика некоторой простейшей элементарной функции.

91. f(x) = (3x+2) / (2x+3).

92. f(x) = 3cos(2x – 5).

________________

93. f(x) =Ö(4x2+7x –2) / (4x-1).

94. f(x) = 9x2 – 6x + 3.

95. f(x) = ln(x2 – 6x + 9).

96. f(x) = -2sin(3x + 4).

97. f(x) =2x3 – 18x2 + 54x – 53.

98. f(x) =ln((x+1)-2 / e2).

99. f(x) =

100.  f(x) = (3x2 – 5x + 2)/(2x2 + x – 3).

101.-110. Haйти пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

_________ _

101. а) lim (Ö4x2 – x + 3 - 2x); б) lim (Öx – 1) – 1sin(1 – x);

x ® µ x ®1

в) lim (1 + x + x2)1/x; г) lim (5x - 3x)/(7x – 4x).

x ® 0 x ® 0

102. а) lim (x2+2x–3)/(3x2+14x+15); б) lim x sin((2x + 1) / (x2+4x3 ));

x® -3 x ® µ

в) lim (1 – 2sin2x)1/xsinx ; г) lim x – 2 ln(cos2x).

x ® 0 x ® 0

______ ____ ___ _____

103. а) lim (3Ö8x4 + 1 + Öx + 3) / (3Öx + 2(1 + Öx2 + 9 )) ;

x ® µ

б) lim sin2(x – 1) / (4x2 + 3x +2); в) lim ;

x ® µ x®¥

г) lim (e2x – 3ex + 2)/x.

x ® 0

__________ ______

104. а) lim ( Öx2 + x + 1 - Öx2 - x ); б) lim (1 – cos2x)/(x sinx);

x ® µ x ® 0

в) lim((2x2+3x+4)/(2x2+x+1))–x/2; г) lim[ln(1 + 3lnx)/ ln(1 + 4lnx)].

x ® µ x ®1

105. а) lim (3x5 + 2x2 + 1)/(1 + 4x3 – x5) ; б) lim x – 2sin2(x2 + 2x);

x® µ x ® 0

в) lim ; г) lim (esinx – ex )/x.

x ® 0 x ® 0

______ _________

106. а) lim (Öx2 + 4x - Öx2 + 6x + 1 ); б) lim (cos 5x)/(sin 2x);

x ® µ x ® p/2

в) lim ((x2 + 7x + 8)/(x2 + 14x + 1)) – x/3 ; г) lim (e – ecosx )/x.

x ® µ x ® 0

_____

107. а) lim (x2 - 5x + 6)/(x3 - 8x + 8) ; б) lim (1 - Ö1 – x ) – 1 sinx ;

x ® 2 x ® 0

_____

в) lim (x + Ö1 + x ) 3/x ; г) lim x – 1 ln(cosx + sinx) .

x ® 0 x ® 0

108. а) lim (3x4 – 2x2 + 1)/(2x4 + 3x2 – 2) ;

x ® µ

б) lim (sinx – sin3x)/(sin6x – sin7x) ;

x ® 0

в) lim ; г) lim (ln cosx)/(cos3x – cosx).

x ® 0 x ® 0

109. а) lim ; б) lim (cos8x – cos2x)/(cos6x – cos4x);

x®5/2 x ® 0

______

в) lim (9 –2x)1/(4 – x) ; г) lim ln(x + Öx2 + 1 )/x.

x ® 4 x ® 0

______ ______

110. а) lim (x - Öx + 2)/(Ö4x + 1 - 3); б) lim (sin2x– sinx)/(cos4x – cos2x);

x ® 2 x ® 0

в) lim ((2x + 1)/(3x +1))1/x ; г) lim (ln(3 – 2tgx))/cos2x .

x®0 x ® p/4

111.-120. Исследовать на непрерывность функцию y = f(x), найти точки разрыва и определить их род. Построить схематический график функции.

111. 112. 113.

114. 115.

æ (2x2 + 3) /5 при xÎ(- ¥, 1];

116. í 6 – 5x при x Î (1, 3);

è x – 3 при x Î[3, +¥).

117. arctg . 118. x ctgx.

119. . 120 .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

И ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

121.-130. Найти производную функции одной переменной, исходя из определения производной.

121.  y = tg2x. 122. y = ln(3x + 1) . 123. y = cos(x2) .

124.  y = sin(x2 + 2x) . 125. y = ctg(3x - 2) . 126. y = Ö 2x2 + 1 .

127. y = Ö 2 – cos3x. 128. y = Ö 2 + sin2x. 129. y = e2x.

130.  y = (x + 1)/(x – 1).

131.-140. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.

131.  1) y = Ö4x4 + tgx ; 2) y = x1/2 / sinx ;

3) y = ctg5x / x3 ; 4) y = arctg(ex) + tg(arccos(ex)).

132.  1) y = ln(tg(3x + 2)); 2) y = Ö 1 – x2 arcsinx ;

3) y = xtgx ; 4) y = (x2 – 1)/(x2 + 1).

133.  1) y = arccos(x2) + arcctg(x2); 2) xy = cos(x – y);

3) y = log2(2x + 1); 4) y = Ö1 – x2 / Ö1 + x2 .

134.  1) y = (2- 5x)/ Ö2 – 5x + x2 ; 2) y = ex – y ;

3) y = 2 lnx – x ; 4) y = sin2 3t, x = cos4 3t.

135.  1) y = (arcsinx)1 – x ; 2) y = cos2 x + tg2x ;

3) x3 + y3 – 3xy = 3; 4) x = t – sin2t, y = 1 – cos 2t.

136.  1) y = sin2x/(1 + sin2x); 2) y = 3arctgx + (arctgx)3 ,

3) y = (1 + x2)1 + 2x ; 4) y = tg3t, x = cos2 3t.

137.  1) y = 3 –3x + (3x) –3 ; 2) y = (x – 1)log5(x2 – 1),

3) y = (x2 + 1)x ; 4) y = tg(x2/y2) .

138.  1) y = ln(lg(log2x)); 2) y = (x2 + x + 1)/(x2 + 1);

3) y = (x + 1)x ; 4) ex + y = x – y.

139.  1) y = (x2 + 1)3 – (x2 – 1 )3 ; 2) y = (ln5x)/(x4 – 1);

3) y = (tgx) ctgx ; 4) x = t ctg(t2) , y = t cos2(t2).