УДК 519.6
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ, ВЫЗВАННОЕ ПЕРЕПАДОМ ДАВЛЕНИЯ, ПРИ НАЛИЧИИ ПОРИСТОЙ СТЕНКИ
,
Кафедра вычислительной математики КемГУ
*****@***ru
Для системы уравнений Навье-Стокса, записанной относительно скоростей и давления, описывающей протекание однородной вязкой несжимаемой жидкости через ограниченную область чаще всего рассматривается две постановки задачи. Одна из них является наиболее популярной и заключается в задании на твердых стенках условия прилипания, а на участках втекания и вытекания жидкости векторов скорости. Вторая постановка заключается в задании на участках втекания-вытекания давления, а не скоростей. Т. е., движение жидкости в области протекания осуществляется за счет разности давлений. Эта постановка во многих практических случаях является более физичной, хотя и менее изученной, т. к. имеется ряд трудностей как при доказательстве ее корректности, так и при численном решении. Настоящая работа посвящена построению численного метода решения стационарных задач для системы уравнений Навье-Стокса, когда движение жидкости определяется заданными перепадами давления.
Дана система уравнений Навье-Стокса
(1)
где 
- двух или трехмерный вектор скорости, 
- давление, 
- коэффициент кинематической вязкости, 
, 
- двух или трехмерный вектор координат, 
- криволинейный канал, являющийся областью решения.
необходимо поставить следующие краевые условия:
(2)
В случае наличия проницаемой стенки краевые условия перепишутся следующим образом:
(3)
Введены следующие обозначения: 
- давление на входе, выходе, на проницаемой стенке и внешнее давление соответственно; 
- твердые стенки, входное отверстие, выходное отверстие, проницаемые стенки.
Краевые условия (2) или (3) не предполагают задания первой компоненты вектора скорости на входе и выходе области протекания. Это обстоятельство существенно затрудняет численное решение задачи (1)-(2). В настоящей работе предлагается метод решения этой задачи, основанный на использовании системы (1) на границе .
Для численного решения задачи (1), (2) в области построим согласованную границей неравномерную сетку 
. На этой сетке аппроксимируем систему (1), переписанную в дивиргентном виде какой либо разностной схемой.
Построенная разностная схема с учетом краевых условий (2) является системой билинейных уравнений. При этом число уравнений в этой системе равно количеству точек сетки области решения, включая точки на входе и выходе. Т. к. на входе и выходе для первой компоненты 
вектора скорости не задано никаких условий, то неизвестных в полученной системе больше, чем уравнений. Мы предлагаем для определения скорости на входе и выходе канала аппроксимировать внутрь области исходную систему уравнений (1). В итоге, получим нелинейную систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных
, (4)
где 
, 
- линейный оператор, 
- билинейное отображение (линейное по каждому из аргументов), 
- известная правая часть. Для решения разностной задачи мы использовали метод неполной аппроксимации (более подробно см. [2])
(5)
где 
выбирается из условия 
, а 
- диагональная матрица, элементы которой 
выбираются последовательно из условия минимума нормы соответствующего функционала, 
- единичный вектор.
Предлагаемым итерационным методом был решен ряд двух и трехмерных задач о протекании вязкой несжимаемой жидкости в каналах как с параллельными, так и с непараллельными стенками. Проведенные расчеты показали, что способ определения скоростей на входе и выходе и построенный итерационный метод решения получающихся разностных задач позволяет достаточно эффективно решать задачи о течениях в каналах различной конфигурации.
Литература
1. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора. – в сб.: Динамика сплошной среды, вып. 27, Новосибирск, 1976, с. 78-92.
2. , Градиентные методы решения задач гидродинамики, Новосибирск, Наука, 2004, 239с.
Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор
