, (2.1.19)
где b — любое положительное число.
Рассмотренная рекуррентная процедура (2.1.17) позволяет найти состоятельную оценку скалярного параметра с. Для состоятельной оценки векторного параметра 
была впоследствии предложена модификация метода стохастической аппроксимации, которая легла в основу рекуррентных методов идентификации параметров объектов.
2.1.2. Обобщение метода стохастической аппроксимации
для решения задач идентификации
Рассмотрим, в общем случае, нелинейный объект, описание которого представлено в форме «вход-выход»:
, (2.1.20)
, 
,
соответствующее уравнение модели имеет вид
. (2.1.21)
Рассмотрим некоторую четную функцию 
— аналог функции потерь, которая достигает минимума при 
.
Тогда является корнем стохастического векторного уравнения:
. (2.1.22)
Принципиально векторное уравнение (2.1.22) ничем не отличается от стохастического скалярного уравнения (2.1.1). Причем, по крайней мере для линейных систем, уравнение (2.1.22) — монотонно возрастающее.
По аналогии с решением скалярных уравнений, составим рекуррентную последовательность для решения векторного уравнения (2.1.22):
. (2.1.23)
Так как выражение 
представляет собой невязку 
между выходом модели и объекта, то можно записать:
, (2.1.24)
где 
— матрица коэффициентов усиления, диагональные элементы которой удовлетворяют условиям:
1) 
, 
;
2) 
, ;
3) 
, .
Одним из возможных видов матричной последовательности , удовлетворяющей условию (2.1.24), является матричный ряд
, (2.1.26)
где В — некоторая положительно определенная матрица.
2.1.3. Асимптотическая скорость сходимости
рекуррентных алгоритмов
Рассмотрим след ковариационной матрицы ошибки оценки на i-м шаге рекуррентного процесса оценивания:
.
В предыдущем разделе было показано, что при правильно выбранной матрице 
оценка будет состоятельной:
.
При этом могут быть различные способы задания матрицы . Кроме того, не накладывалось никаких дополнительных условий (кроме условия четности) на функцию потерь 
. Однако различные способы задания матрицы и различные функции потерь будут давать различные скорости сходимости оценок к истинным значениям параметра.
В качестве меры скорости сходимости алгоритмов в теории оценивания принято использовать асимптотическую матрицу ковариаций ошибок оценки (АМКО) [3]:
. (2.1.27)
Очевидно, чем меньше АМКО, тем быстрее скорость сходимости алгоритма. Так как 
функционально зависит от вида функции потерь 
и от вида матрицы , то и АМКО является функционалом от и .
В дальнейшем несколько упростим задачу и будем задавать в виде
, (2.1.28)
где В, как указывалось ранее, некоторая положительно определенная матрица. Поставим себе целью найти такую матрицу 
и такую функцию потерь 
, которые обеспечивают минимум АМКО. При этом будем считать, что известна плотность распределения помехи 
. Вначале найдем оптимальную матрицу , такие алгоритмы будем называть оптимальными [3]. Затем найдем оптимальную функцию потерь — абсолютно оптимальные алгоритмы.
Найдем уравнение, которому удовлетворяет АМКО. Приводимый далее вывод этого уравнения носит эвристический характер и не претендует на строгость. Запишем рекуррентный алгоритм (2.1.24), используя в качестве матрицы формулу (2.1.28):
. (2.1.29)
Запишем это выражение относительно ошибки 
:
. (2.1.30)
Разложим 
в ряд Тейлора относительно истинного значения параметра:
.
Подставляя последнее выражение в формулу для ошибки (2.1.30), получим:
.
Перепишем последнее выражение в виде:
.
Домножим обе части этого уравнения на 
и введем обозначения: 
; 
;
.
При достаточно больших i выражение 
,тогда, пренебрегая членами высшего порядка малости, можно записать:
. (2.1.31)
Обращаясь к формуле (2.1.27) для АМКО, нетрудно заметить, что
, (2.1.32)
где
. (2.1.33)
Подставляя (2.1.31) в формулу (2.1.33) и производя кропотливые, но несложные преобразования, получим рекуррентную формулу для нахождения 
[3]:
, (2.1.34)
где
.
Рассмотрим более подробно матрицу 
. Так как функция потерь является сложной функцией, то, применяя правила дифференцирования сложных функций, можно записать:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
