Статистические методы последовательной обработки информации (стр. 3 )

.

Учитывая, что , а не зависит от , запишем:

. (2.1.35)

Для систем с аддитивной помехой случайные величины, входящие в (2.1.35), статистически независимы. Поэтому выражение (2.1.35) можно представить в виде:

. (2.1.36)

Очевидно, второй сомножитель в (2.1.36) представляет собой нормированную информационную матрицу. Таким образом,

. (2.1.37)

Вернемся к уравнению (2.1.34). Оно представляет собой рекуррентный алгоритм решения матричного стохастического уравнения:

. (2.1.38)

По правилу дифференцирования сложных функций, имеем:

. (2.1.39)

Будем считать, что модель объекта составлена таким образом, что [3]

. (2.1.40)

Для линейных объектов при использовании оптимальной настраиваемой модели справедливость соотношения (2.1.40) была доказана в разд.1.2 (часть I). Для нелинейных объектов с простой аддитивной помехой это соотношение очевидно. В дальнейшем будем считать, что соотношение (2.1.40) выполняется всегда. Таким образом, можно записать:

.

Применим операцию математического ожидания к правой и левой частям последнего выражения. Учитывая статистическую независимость случайных функций, входящих в правую часть, запишем:

.

Покажем, что .

По определению:

.

Так как  — четная функция, то  — нечетная; при  — четная функция, и, следовательно,  — нечетная.

Интеграл от нечетных функций на одинаковых, но противоположных по знаку пределах равен 0, т. е.

. (2.1.41)

Таким образом, учитывая (2.1.41), имеем:

. (2.1.42)

Подставляя формулу для (2.1.37) и выражение (2.1.42) в (2.1.38), получим:

. (2.1.43)

Полученное матричное уравнение представляет собой сложную функциональную зависимость АМКО V от матрицы В и функции потерь . В общем случае невозможно в явном виде разрешить это уравнение относительно АМКО.

2.1.4. Оптимальные рекуррентные алгоритмы идентификации

Как уже отмечалось в предыдущем разделе, оптимальными рекуррентными алгоритмами будем называть алгоритмы, которые используют матрицу  — оптимальную в смысле минимума АМКО при заданной функции потерь .

Представим матрицу В в виде:

, (2.1.44)

где  — искомая оптимальная матрица,  — вариация матрицы В, l — параметр.

Обозначим:

, (2.1.45)

. (2.1.46)

Тогда уравнение (2.1.43) для АМКО запишется в виде

. (2.1.47)

Условие минимума АМКО можно представить в виде

, .

Дифференцируя обе части уравнения (2.1.47) по l и полагая l = 0, получим:

.

Нетрудно видеть, что последнее условие будет выполняться для любых dВ только при обращении в нуль выражений, стоящих в квадратных скобках, т. е.

.

Подставляя выражение (2.1.46) для G и учитывая, что , получим:

.

Разрешим полученное уравнение относительно , тогда будем иметь:

. (2.1.48)

Для определения оптимальной матрицы В* подставим полученное выражение для V* в уравнение АМКО (2.1.43); тогда после несложных преобразований находим:

, (2.1.49)

или, раскрывая операцию математического ожидания, будем иметь:

.

Используя формулу интегрирования по частям, можно получить

. (2.1.50)

Тогда последнее выражение перепишем в виде

. (2.1.51)

Для нахождения оптимальной АМКО подставим (2.1.49) в (2.1.48) и получим:

(2.1.52)

или

.

Используя замену (2.1.50), запишем эквивалентную формулу для АМКО:

.

Как видно, полученная АМКО является функционалом от функции потерь и плотности распределения . В дальнейшем АМКО, оптимальную относительно матрицы В, будем обозначать , т. е.

. (2.1.53)

Подставляя матрицу В* в рекуррентный алгоритм (2.1.29), получим:

.

Очевидно, полученный алгоритм невозможно реализовать, так как в формулу для нормированной информационной матрицы входит оцениваемый параметр . Эту трудность можно обойти, использовав вместо оценку параметра на (i – 1)-м шаге. Таким образом, реализуемый рекуррентный алгоритм будет иметь вид:

. (2.1.54)

Полученная рекуррентная формула является наиболее общей и может быть использована для идентификации параметров нелинейного объекта при произвольной функции потерь .

Существенным недостатком данного алгоритма является необходимость рассчитывать, а затем обращать матрицу . Предлагаемая ниже процедура [3] позволяет обойти эти трудности. Заменим матрицу ее выборочной или эмпирической оценкой:

.