Статистические методы последовательной обработки информации (стр. 4 )

Тогда матрица коэффициентов усиления примет вид:

.

Воспользуемся леммой об обращении квадратных матриц. Если квадратная матрица имеет вид

,

где k — скаляр,  — вектор, U — постоянная симметричная матрица той же размерности, то справедливо следующее рекуррентное соотношение:

,

.

Полагая ; ;

; ,,

получим для коэффициента усиления:

.(2.1.55)

В качестве начального приближения принимают матрицу

, (2.1.56)

где n — большое число.

Таким образом, оптимальный рекуррентный алгоритм будет состоять из двух вычисляемых формул

, (2.1.57)

где вычисляется на каждом шаге рекуррентного процесса по формуле (2.1.53) при начальных условиях (2.1.56). Начальное приближение может быть задано любым вектором соответствующей размерности.

В заключение данного раздела запишем рекуррентный оптимальный алгоритм для линейного динамического объекта:

.

Как известно, оптимальная настраиваемая модель, соответствующая данному объекту, имеет вид:

или, используя введенные в части I обозначения (1.42),

.

Тогда

. (2.1.58)

Подставляя (2.1.58) в рекуррентные соотношения (2.1.55), (2.1.57), получим:

; (2.1.59а)

,

, (2.1.59б)

где  — любой вектор, , l — большое число.

2.1.5. Оптимальная функция потерь

В предыдущем разделе получили формулу для АМКО (2.1.53), оптимальной по матрице В:

.

Будем считать, что плотность распределения ошибок измерений известна. Тогда поставим задачу подобрать такую функцию потерь , которая обеспечит минимальное значение АМКО. Для решения этой задачи рассмотрим изменение АМКО при варьировании оптимальной функции потерь :

,

где l — параметр, dF — произвольная вариация функции потерь.

Условие экстремума АМКО имеет вид:

.

Рассмотрим, что представляет собой матрица j(l):

.

Тогда

.

Откуда следует, что

.

Преобразуя последнее выражение, получаем:

.

Так как может быть любой функцией, то

, (2.1.60)

или, после умножения обеих частей (2.1.60) на :

. (2.1.61)

Нетрудно заметить, что (2.1.61) представляет собой равенство нормированных функций. Это равенство справедливо только в том случае, если сами функции пропорциональны. Таким образом, получаем:

,

где  — коэффициент пропорциональности. Отсюда следует, что

,

т. е.

.

И, следовательно, оптимальная функция потерь определяется соотношением:

.

В последнем выражении неопределенными оказываются коэффициенты и . Для их определения рассмотрим графики (рис.2.1.1) плотности распределения и логарифма плотности распределения шума h.

а	б

Рис.2.1.1. Типичный вид плотности распределения (а)

и логарифма плотности распределения шума h (б)

Как правило, это уже не раз использовалось, плотность распределения является четной функцией, а логарифм плотности распределения — четная убывающая функция, имеющая максимальное значение при h = 0. Таким образом, для того, чтобы имела смысл функции потерь, т. е. имела минимум при e = 0, необходимо условие (рис.2.1.2).

Рис.2.1.2. График зависимости функции потерь от невязок e при и

Что же касается параметра , то он определяет минимальное значение . При всегда выполняется неравенство .

Таким образом, оптимальная функция потерь не единственна, а зависит от параметров и . Этот факт является следствием того, что АМКО зависит не от , а от .

Для задач идентификации конкретные значения этих параметров несущественны. Удобно принять , а . Таким образом, оптимальная функция потерь равна логарифму плотности распределения помех с обратным знаком:

. (2.1.62)