Алгебра множеств

Алгебра множеств.

В этом листке вводятся основные обозначения и начала теории множеств, сформулированной немецким математиком Г. Кантором. Понятие множества принадлежит к числу простейших математических понятий.

Множество – набор, совокупность каких-либо объектов, называемых его элементами.

В каждом случае мы выделяем из всевозможной совокупности объектов некоторый класс этих объектов, обладающих определёнными, им присущими, свойством. Этот класс объектов мы называем множеством, отвлекаясь, в дальнейшем, от природы этих объектов. Так, можно говорить о множестве точек на прямой, множестве сторон многоугольника, множестве решений уравнения.

Множества мы будем обозначать прописными буквами , а их элементы малыми . Если некоторое множество состоит из элементов , то это записывается так: .

Утверждение “элемент принадлежит множеству ” символически записывается так: ; запись означает, что элемент не принадлежит множеству.

Ясно, что утверждения и не могут выполнятся одновременно.

Определение 1.1: Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент, принадлежащий множеству , принадлежит и множеству . Обозначение: (или ).

Определение 1.2: Два множества и называются равными (тождественными), если одновременно выполняется и .

Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некоторое множество (например множество корней уравнения) хотя бы один элемент, поэтому:

Определение 1.3: Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается: .

Замечание: Любое множество содержит в качестве своего подмножества.

Задача 1.1: Сколько существует подмножеств у множества, состоящего из:

a). трёх элементов  b). n элементов.

Задача 1.2: Доказать, что множество тогда и только тогда является подмножеством множества , когда любой элемент, не принадлежащий , не принадлежит .

Определение 1.4: Множество называется объединением, или суммой, множеств и , если или (см. рис.1). Обозначается: . Запись илиозначает, что множество состоит из элементов, каждый из которых удовлетворяет условию: или .

Определение 1.5: Множество называется пересечением множеств и , если и (см. рис.2). Обозначается: .

Задача 1.3: Доказать, что для множеств и верно .

Задача 1.4: Докажите свойства объединения и пересечения множеств:

a).		(коммутативность)
b).		(ассоциативность)
c).		(дистрибутивность)

Определение 1.6: Множество называется разностью множеств и , если и (см. рис.3). Обозначается: .

Задача 1.5: Доказать:

a).

b).

Определение 1.7: Пусть задано некоторое фиксированное множество , и . Множество называется дополнением множества , в том смысле, что дополняет множество до (см. рис.4).

Задача 1.6: Доказать:

a).

b).

Рис. 1	Рис. 2
Рис. 3	Рис. 4