Тема 3. Законы сохранения в механике (стр. 2 )

Нетрудно показать, что однородное стационарное поле является консервативным. Для этого найдем работу, совершаемую силами такого поля, при перемещении частицы вдоль криволинейной траектории из

Рис. 3.4

точки 1 в точку 2 (рис. 3.4). Для вычисления работы разобьем траекторию на малых частей, и каждую из них заменим отрезком прямой. Иначе говоря, в кривую впишем ломаную. Тогда работа на -ом участке , а работа, совершаемая на всей траектории, представляет собой сумму:

.

Поскольку в каждой точке траектории сила одинакова (поле однородно), вектор можно вынести за знак суммы:

. (3.5)

Легко видеть, что

. (3.6)

Сделав в (3.5) замену (3.6), получим, что . Это означает, что работа сил однородного стационарного поля не зависит от формы траектории, но определяется положением ее начальной и конечной точек. Следовательно, однородное стационарное поле является консервативным.

В качестве примера найдем работу силы тяжести при перемещении частицы массой из точки 1 в точку 2 вблизи поверхности Земли (рис. 3.5). Поскольку силовое поле однородно, работу найдем как скалярное произведение: . На рис. 3.5 видно, что , где и - удаление точек 1 и 2 от поверхности Земли. Следовательно,

. (3.7)

Рис. 3.5

Центральные силы. Силовое поле, в каждой точке которого линия действия силы проходит через неподвижную точку (центр), а модуль силы зависит только от расстояния до центра, называется центральным полем. Соответственно силы, действующие на тела в центральном поле, называются центральными силами. В качестве примера можно упомянуть гравитационные силы, действующие на Землю и другие планеты солнечной системы со стороны солнца. Можно показать, что центральное силовое поле, как и однородное поле, является консервативным.

Потенциальная энергия частицы. Для того чтобы сформулировать определение потенциальной энергии, необходимо дать определением функции трех переменных и ее частных производных.

Переменная называется функцией независимых переменных если каждой тройке численных значений этих переменных из одного множества поставлено в соответствие по определенному закону единственное значение переменной из другого множества: . Если переменной дать приращение , функция получает частное приращение . Конечный предел (если он существует) отношения частного приращения к приращению называется частной производной функции по переменной :

.

По аналогии имеем:

, ,

, .

Легко видеть, что частные производные функции характеризуют быстроту изменения переменной при изменении каждой их трех независимых переменных .

Поставим в соответствие каждой точке поля консервативных сил значение функции следующим образом. Произвольно выбранной точке поля сопоставим произвольное значение . Значение функции в точке 1 будем полагать равным сумме:

, (3.7А)

где - работа сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку (рис. 3.6). Аналогично значение функции в точке 2:

. (3.8)

Поскольку частица перемещается в поле консервативных сил,

. (3.9)

Сделав в (3.8) замену (3.9), получим:

.

Далее найдем разность:

.

Сумма в правой части последнего выражения представляет собой работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в 2 через точку . Так как поле консервативно, ; поэтому

. (3.10)

Функция называется потенциальной энергией частицы в консервативном силовом поле.

Рис. 3.6

Таким образом, работа сил поля численно равна разности значений потенциальной энергии частицы в точках 1 и 2, либо изменению потенциальной энергии с противоположным знаком. Сравнение выражений (3.7) и (3.10) показывает, что потенциальную энергию частицы в гравитационном поле Земли можно вычислять по формуле , отсчитывая от любого произвольно выбранного уровня, на котором энергия полагается равной нулю. Обычно за уровень с нулевой потенциальной энергией принимается поверхность Земли.

Из выражений (3.7А) и (3.8) следует, что фактически потенциальная энергия частицы в силовом поле определяется произвольно, поскольку произвольно выбирается точка с нулевой энергией. Если же учесть, что при решении задач механики в конечные выражения входит только разность значений потенциальной энергии, используемый способ ее определения представляется вполне корректным.

Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из точки 1 в точку 2 совершается работа . Вместе с тем эта же работа равна изменению кинетической энергии частицы: . Поэтому , т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии частицы (ее полная механическая энергия), движущейся в поле консервативных сил, остается неизменной. Этот вывод составляет сущность закона сохранения полной механической энергии частицы.

Если известна зависимость потенциальной энергии частицы от ее координат, можно найти силу, действующую на нее в поле. Для этого будем полагать, что частица перемещается вдоль оси , в результате чего ее абсцисса получает элементарное приращение . Сила поля при этом совершает работу , где - проекция вектора силы на координатную ось. Согласно (3.10) ; поэтому