Тема 3. Законы сохранения в механике (стр. 1 )

ТЕМА 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

3.1. Закон сохранения импульса. Закон сохранения полной механической энергии частицы

Механической системой называется совокупность тел, выделенных для рассмотрения. Тела, входящие в механическую систему, могут взаимодействовать между собой внутренними силами, и с телами, не входящими в систему, посредством внешних сил. Если на механическую систему не действуют внешние силы, она называется замкнутой. Для замкнутой механической системы неизменными остаются три физические величины: импульс, полная механическая энергия и момент импульса.

Простейшая механическая система состоит из одной частицы. Системы, реально существующие в природе, состоят из протяженных, т. е. макроскопических тел. Как уже отмечалось, любую из них можно представить в виде совокупность частиц, взаимодействующих между собой. Ранее мы получили основное уравнение динамики поступательного движения тела (системы частиц), согласно которому быстрота изменения импульса системы равна сумме действующих на нее внешних сил:

.

Из этого уравнения следует, что если система замкнута либо сумма внешних сила равна нулю, то , т. е. импульс системы не изменяется. Это утверждение составляет сущность закона сохранения импульса: импульс замкнутой механической системы при поступательном движении остается неизменным при любых взаимодействиях и процессах, протекающих в ней.

Далее рассмотрим определения некоторых физических величин, которые необходимы для формулировки закона сохранения полной механической энергии.

Работа силы. Элементарной работой силы , действующей на частицу, называется скалярная физическая величина

. (3.1)

Здесь - модуль вектора элементарного перемещения, - угол между векторами силы и перемещения (рис.3.1). Из равенства (3.1) следует, что единицей измерения работы в системе СИ служит 1 Н∙м = 1 Дж (Джоуль). Если угол острый, т. е. сила способствует движению тела, (рис. 3.1,а). Если же угол тупой, т. е. сила противодействует движению, (рис. 3.1,б). Легко видеть, что выражение (3.1) можно представить в виде скалярного произведения:

. (3.2)

Рис. 3.1

Мощностью называется работа силы в единицу времени:

.

Очевидно, единицей измерения мощности в СИ служит 1 Дж/с = 1 Вт (Ватт). Сделаем в последнем выражении замену (3.2):

.

Считая силу в течение малого (элементарного) промежутка времени неизменной, получим:

.

Поскольку , . По определению скалярного произведения . Так как (проекция вектора силы на направление вектора скорости), .

Кинетическая энергия. Кинетической энергией частицы называется энергия, обусловленная ее движением. Из основного уравнения динамики частицы имеем:

,

где - масса частицы, - ее скорость, - действующая на нее сила. Умножим последнее равенство скалярно на :

.

Поскольку , имеем:

.

Если рассматривать производную как отношение дифференциалов и вынести за знак скалярного произведения множители и , то

.

По определению скалярного произведения , . Поэтому последнее равенство можно переписать следующим образом:

. (3.2А)

Легко видеть, что левую часть (3.2А) можно представить как дифференциал функции

, (3.4)

которая называется кинетической энергией частицы. Действительно,

.

Сделав в (3.2а) замену , приходим к равенству

, (3.4А)

выражающему содержание теоремы о кинетической энергии: изменение кинетической энергии частицы равно работа внешней силы.

Консервативные силы. Консервативными называются силы, работа которых не зависит от траектории движения частицы между двумя определенными точками. Нетрудно показать, что работа консервативных сил при движении по любой замкнутой траектории равна нулю. Для этого разделим произвольно выбранную замкнутую линию, по которой перемещается частица, на две части точками 1 и 2 (рис. 3.3). В соответствии

Рис. 3.3

с этим . Здесь - работа по замкнутой траектории, - работа при перемещении частицы от точки 1 к точке 2 по верхней части, - работа при перемещении от точки 2 к точке 1 по нижней части траектории. Поскольку работа не зависит от формы траектории, величину можно представить как -. Действительно, на верхнем участке траектории в произвольно выбранной точке вектор силы образует острый угол с вектором перемещения (частица движется от точки 1 к точке 2). Поэтому

.

При движении по этому же участку в обратном направлении угол между вектором силы и вектором перемещения в этой же точке траектории становится тупым. Соответственно

.

Поскольку ,

, .

Такая же ситуация имеет место в каждой точке верхней части траектории. Следовательно, , а работа при движении по замкнутой траектории .

Силы, действующие на тела механической системы, имеют различную природу. В одном случае тела находятся в контакте и воздействуют друг на друга непосредственно. В других ситуациях взаимодействуют удаленные тела, например – наша планета Земля и ее искусственный спутник. Прошли столетия, прежде чем в физике установилась полевая интерпретация взаимодействия удаленных тел. Иначе говоря, удаленные тела воздействуют друг на друга посредством различных силовых полей – гравитационного, электромагнитного и т. п. В рамках такого подхода взаимодействие можно представить следующим образом. Одно из тел создает в окружающем пространстве поле, действующее на второе тело. Аналогично, второе тело также создает поле, воздействующее на первое тело. Если в каждой точке поля сила, действующая на определенное тело, одинакова по модулю и направлению, поле называется однородным; если сила не изменяется с течением времени, поле называется стационарным.