Тема 3. Законы сохранения в механике (стр. 4 )

Рис. 3.9

определяется правилом правого винта: если под действием силы радиус-вектор точки ее приложения поворачивается по часовой стрелке, вектор момента направлен вдоль движения винта с правой резьбой, вращаемого по часовой стрелке (в рассматриваемом случае вектор направлен в плоскость рис. 3.9). Правило вычисления модуля, а также направление вектора момента силы дают основание представить его в виде векторного произведения:

. (3.18)

Единицей измерения момента силы служит 1 Н∙м.

Пусть через точку проходит ось (рис. 3.10), точка вращается вокруг нее под действием силы . Эту силу (на рисунке она не показана) представим в виде суммы: . Здесь и - составляющие

силы, параллельная и перпендикулярная оси . Вектор (тангенциальная

Рис. 3.10

составляющая) также перпендикулярен этой оси и радиус-вектору , проведенному в точку приложения силы. Моментом силы относительно относительно точки : . Аналогично будем обозначать далее проекции на ось и других векторов.

Согласно (3.18), момент силы относительно точки равен векторному произведению:

.

По свойству векторного произведения имеем:

.

Здесь первое, второе и третье слагаемые в правой части – моменты относительно точки составляющих , и :

, , .

Поскольку векторы и перпендикулярны оси , их проекции на эту ось равны нулю. Следовательно, проекция вектора равна проекции момента тангенциальной составляющей силы. На рис. 3.10 видно, что вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и ; поэтому , , .

Таким образом, из трех составляющих силы лишь ее тангенциальный компонент способен вращать точу приложения относительно оси. Потому можно сказать, что модуль проекции момента силы на ось численно равна произведению модуля ее тангенциальной составляющей на радиус окружности, описываемой точкой приложения силы при вращении вокруг этой оси.

Пара сил. Две равные по модулю и противоположно направленные силы называются парой сил. Расстояние между линиями действия этих сил называется плечом пары. Момент пары сил относительно точки (рис. 3.11) равен сумме моментов каждой из сил: . Поскольку , , . На рис. 3.11 видно, что , т. е. . Поэтому . Следовательно, момент пары сил не зависит от положения точки и определяется взаимным расположением точек приложения векторов и . Модуль момента пары сил . Так как (плечо пары сил), . В данном случае момент выражен через силу . Рассуждая аналогично, можно было бы выразить этот же момент через силу .

Рис. 3.11

Таким образом, модуль момента пары сил равен произведению модуля любой из сил пары на плечо. Направление вектора связано с направлением действия сил правилом правого винта: если под действием сил точки их приложения движутся по часовой стрелке, вектор момента направлен вдоль перемещения винта с правой резьбой, вращаемого по часовой стрелке.

Силы взаимодействия двух любых частиц протяженного тела образуют пару сил с плечом, равным нулю. Поэтому суммарный момент всех внутренних сил, действующих на любую частицу тела, также равен нулю:

. (3.19)

Следовательно, равен нулю и суммарный момент всех внутренних сил относительно любой оси :

. (3.19А)

Момент импульса частицы. Моментом импульса частицы относительно точки называется вектор

. (3.20)

Здесь - радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно этой точки, - вектор импульса частицы. Модуль момента импульса можно представить в виде , где (плечо импульса).

Представим равенство (3.20) в виде и продифференцируем его по времени:

. (3.21)

Поскольку , для первого слагаемого в правой части (3.21) имеем:

(3.22)

по определению векторного произведения. Так как , ,

. (3.23)

Сделав в (3.21) замену (3.22) и (3.23), получим:

, (3.24)

т. е. быстрота изменения момента импульса частицы относительно точки равна моменту силы, действующей на частицу, относительно этой же точки.

Пусть через точку проходит ось (на рис.3.13 она не показана). Спроецируем уравнение (3.24) на эту ось:

,

т. е. быстрота изменения момента импульса частицы относительно оси равна моменту силы относительно этой оси.

Теперь рассмотрим систему частиц, на которые действуют внутренние и внешние силы. Моментом импульса системы относительно точки называется сумма моментов импульса всех составляющих ее частиц:.

Продифференцируем последнее равенство по времени:

.

Поскольку , , где - суммарный момент всех внутренних и внешних сил, действующих на - ую частицу: . Согласно (3.19) ; поэтому

,

т. е. быстрота изменения момента импульса системы частиц относительно точки равна суммарному моменту всех внешних сил. Спроецировав последнее уравнение на ось , получим:

. (3.25)

Следовательно, быстрота изменения момента импульса системы частиц относительно оси равна суммарной проекции моментов всех внешних сил относительно этой оси. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса: если на частицы не действуют внешние силы (система замкнута), либо суммарный момент всех внешних сил равен нулю, момент импульса системы частиц относительно точки, как и проекция момента импульса на ось, остаются неизменными:

, .