Тема 3. Законы сохранения в механике (стр. 3 )

. (3.11)

Рассматривая движение частицы по осям и , по аналогии получим:

, . (3.12)

Используя частные производные функции , координаты вектора силы, действующей на частицу, можно представить следующим образом:

, , .

Соответственно вектор силы

. (3.13)

Последнее выражение можно представить в более компактной форме, если использовать оператор Гамильтона, иногда называемый оператором набла:

.

Для того, чтобы подействовать этим оператором на любую скалярную функцию трех переменных, в частности – на функцию , необходимо дописать ее в операторе следующим образом:

. (3.13А)

Сделав в (3.13) замену (3.13А), получим, что .

В результате действия оператора Гамильтона на любую скалярную функцию получается вектор, который называется градиентом этой функции: . Этот вектор, найденный в определенной точке поля, указывает направление, в котором численное значение функции в этой точке возрастает с максимальной быстротой; модуль градиента равен быстроте возрастания.

Таким образом, сила, действующая на частицу в консервативном силовом поле, направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной энергии частицы.

3.2. Взаимная потенциальная энергия.

Закон сохранения полной механической энергии системы

Все реально существующие в природе механические системы состоят из протяженных (макроскопических) тел, подверженных воздействию как консервативных, так и неконсервативных внешних и внутренних сил. Любое макроскопическое тело, как и систему тел, можно представить в виде совокупность частиц, взаимодействующих между собой. На рис. 3.7 видно, что векторы сил взаимодействия произвольно выбранной частицы 1 некоторого тела с соседними частицами этого же тела лежат на прямой, проходящей через первую частицу. Из этого следует, что силы взаимодействия консервативны, а работа, совершаемая при перемещении частиц друг относительно друга, приводит к изменению потенциальной

Рис. 3.7

энергии. Энергия взаимодействия всех частиц тела (и механической системы) называется взаимной потенциальной энергией; она равна сумме энергий взаимодействия всех пар частиц:

.

Здесь - энергия взаимодействия -ой и -ой частиц; условие означает, что -ая частица не может взаимодействовать сама с собой. Множитель ½ перед знаком суммы введен для того, чтобы не учитывать энергию взаимодействия одной и той же пары частиц дважды. Понятно, что взаимная потенциальная энергия системы частиц определяется с точностью до произвольной постоянной. Кинетическая энергия тела равна сумме энергий всех частиц:

(здесь - масса и модуль скорости -ой частицы).

Рассмотрим механическую систему, на тела которой действуют внешние и внутренние консервативные и неконсервативные силы. Работу всех сил при переходе системы из положения 1 в положение 2 можно представить следующим образом:

. (3.14)

Здесь первые два слагаемые – это работа внешних и внутренних консервативных сил, два следующие слагаемые – работа внешних и внутренних неконсервативных сил. Согласно (3.10),

, (3.15)

где и - потенциальная энергия системы частиц во внешнем силовом поле в положении 1 и 2, соответственно. Аналогично

, (3.16)

где в правой части имеется разность значений взаимной потенциальной энергии системы в начальном и конечном положении. Сделав в (3.14) замену (3.15) и (3.16), получим:

.

С другой стороны, работа всех сил приводит к изменению кинетической энергии системы. Поэтому

. (3.17)

Сумма первых трех слагаемых в левой части (3.17) – это полная механическая энергия системы в начальном положении , сумма трех следующих – полная механическая энергия в конечном положении . Поэтому

.

Таким образом, изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил. Если же неконсервативные силы отсутствуют (система замкнута), либо их работа равна нулю,

,

т. е. полная механическая энергия остается неизменной. Этот вывод составляет сущность закона сохранения: полная механическая энергия системы, находящехся под воздействием только консервативных сил, остается неизменной. При наличии неконсервативных сил полная механическая энергия не сохраняется. Неконсервативными, в частности, являются силы трения и сопротивления среды. Поскольку работа этих сил отрицательна, механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию тел. Такой процесс называется диссипацией энергии, а силы, приводящие к диссипации – диссипативными. Необходимо отметить, что не все неконсервативные силы являются диссипативными. Например, сила Ампера и сила Лоренца не консервативны, однако их действие не приводит к изменению полной механической энергии.

3.3. Закон сохранения момента импульса

Для того чтобы сформулировать этот закон, необходимо дать определение следующих физических величин.

Момент силы. Пусть в точке приложена сила (рис. 3.9). Прямая, на которой расположен вектор , называется линией действия силы, точка - точкой ее приложения. Длина перпендикуляра , проведенного из определенной точки к линии действия силы, называется плечом силы относительно этой точки. По определению, моментом силы относительно точки называется вектор , модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо: . На рис. 3.9 видно, что , где - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно точки . Следовательно, . Направление вектора