Тема: Системи зв’язку та способи передачі повідомлень (стр. 6 )

2.4.  Основні правила теорії імовірності.

2.4.1.  Правило додавання.

Якщо взаємно несумісні події, то імовірність появи однієї з подій чи чи дорівнює сумі імовірностей цих подій:

де – імовірність появи події .

Якщо взаємно несумісні події складають повну групу, то одна з цих подій з'являється обов'язково і, отже,

або

,

тобто сума імовірностей появи випадкових подій, що складають повну групу, дорівнює одиниці.

Якщо повна група складається з двох подій і , то

; .

Ця формула дає можливість знайти імовірність події , якщо відома імовірність протилежної події .

При всіх випадкових подіях, що складають повну групу, і рівновірогідних, маємо:

Імовірність здійснення однієї з подій, що входять у повну групу рівновірогідних подій, дорівнює:

.

2.4.2.  Правило множення.

Імовірність настання двох сумісних, залежних випадкових подій А і В дорівнює добутку імовірності однієї з цих подій на умовну імовірність появи іншої, обчислену в припущенні, що перша подія сталася.

.

Безумовні імовірності Р(А) і Р(В) іноді називають апріорними (тобто додослідними), а умовні імовірності Р(А/В) і Р(В/А) апостеріорними (тобто послядослідними), маючи тут на увазі під дослідом випадкову подію (експеримент). Окремий випадок: події А и В сумісні, але незалежні. Тоді:

, ,

.

Ця формула поширюється на випадок довільного числа незалежних подій :

.

З загальної формули множення маємо

звідки

.

Ця формула дає можливість по апріорних імовірностях Р(А) і Р(В) і умовній імовірності однієї з них знайти умовну імовірність іншої.

У деяких задачах необхідно визначити імовірність події А, що з'являється з однією з несумісних подій . Ці взаємно несумісні події називають часто гіпотезами, зв'язаними з появою події А.

.

Кожне з доданків цієї суми дорівнює:

і = ,

Отже:

.

Це співвідношення називається формулою повної імовірності.

2.5.  Формула Бейеса.

По формулі Бейеса можна визначити умовну імовірність і-й гіпотези за умови що відбулася подія А. Відомо, що:

Заміняючи на , одержимо:

чи, з огляду на формулу повної імовірності, одержуємо формулу Бейеса

.

2.6.  Випадкові величини і закони їх розподілу.

Випадкова величина буде цілком визначена з вірогідної точки зору, якщо ми задамо якою імовірністю володіє кожна з подій, що складають повну групу несумісних подій. Цим ми установимо, так званий закон розподілу випадкової величини.

Законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями.

Про випадкову величину говорять, що вона підлегла даному закону розподілу. Найпростіша форма завдання закону – таблична (рис.2.1,а). Таку таблицю називають рядом розподілу випадкової величини Х. Графічне представлення ряду називається багатокутником розподілу (рис.2.1,а).

Очевидно, для безперервної випадкової величини ряд чи багатокутник розподілу побудувати неможливо, оскільки безперервна випадкова величина має незліченну безліч можливих значень.

Для кількісної характеристики розподілу безперервної випадкової величини користуються не імовірністю події Р(х), а імовірністю того, що :

,

де Х – випадкова величина,

х – поріг.

Інтегральним законом розподілу чи функцією розподілу, називається функція, що показує, як залежить від величини обраного рівня (порога) х імовірність того, що значення випадкової величини не перевершують цього рівня.

– сама універсальна характеристика випадкової величини. Вона

Рис. 2.1. Закони розподілу випадкових величин:

а – ряд і багатокутник розподілу; б, в – інтегральна функція розподілу безперервної (б) і дискретної (в) випадкових величин; г – числова вісь; д – щільність імовірності.

існує для усіх випадкових величин як безперервних, так і дискретних

(рис. 2.1,б, в).

2.7.  Властивості інтегрального закону розподілу.

1.  Функція розподілу є неспадаюча функція свого аргументу.

2.  , .

3.  .

4. 

Не даючи строгого доказу цих властивостей, проілюструємо їх за допомогою наочної геометричної інтерпретації. Для цього будемо розглядати випадкову величину Х як випадкову точку Х на числовій осі ох (рис. 2.1,г), яка в результаті досвіду може зайняти те чи інше положення. Тоді функція розподілу є імовірність того, що випадкова величина Х у результаті досвіду попадає лівіше точки х.

Будемо збільшувати х, тобто переміщати точку х вправо по осі абсцис. Очевидно, при цьому імовірність того, що випадкова точка Х попадає лівіше х, не може зменшитися. Отже, зі зростанням х спадати не може. Щоб переконатися в тому, що , будемо пересувати точку х вліво. При цьому попадання х лівіше Х стає неможливою подією, імовірність якої дорівнює нулю.

Переміщаючи х необмежено вправо, одержимо достовірну подію .

Функція розподілу будь-якої дискретної випадкової величини завжди є розривна ступінчаста функція, стрибки якої відбуваються в точках, що відповідають можливим значенням випадкової величини і дорівнюють імовірностям цих значень. Сума всіх стрибків функції дорівнює одиниці.