Тема: Системи зв’язку та способи передачі повідомлень (стр. 8 )

називається – мірним інтегральним законом розподілу, а часна похідна

називається – мірною щільністю імовірності.

Випадковий процес заданий, якщо його - мірний розподіл відомо для будь-якого довільно обраних моментів часу . Якщо значення випадкової функції при будь-яких значеннях незалежні, то

.

Звідси випливає, що вичерпною характеристикою випадкової функції з незалежними значеннями є її одномірний закон розподілу.

Закони розподілу є досить повними характеристиками випадкового процесу. Однак вони складні і вимагають для свого визначення обробки великого експериментального матеріалу. Крім того, такий докладний опис процесу не завжди буває потрібним. Для рішення багатьох практичних задач досить знати більш прості (хоча і менш повні) характеристики випадкового процесу. Такими характеристиками є середні значення і функція кореляції випадкового процесу.

Середнє значення, чи математичне чекання випадкового процесу визначається за формулою:

,

де риска означає усереднення по множині. Воно визначає собою деяку середню функцію, біля якої групуються всі можливі реалізації випадкової функції

(рис.2. 3,б). Аналогічно визначається середнє значення квадрата

.

Дисперсія випадкового процесу визначається як математичне чекання квадрата відхилення процесу від свого середнього значення.

.

Дисперсія є мірою розкиду значень випадкової функції біля середнього значення. При дисперсія збігається з математичним чеканням квадрата випадкового процесу

.

Середнє значення і дисперсія характеризують поведінку випадкового процесу в окремі моменти часу.

Статистичний зв'язок між значеннями випадкового процесу і , що він приймає в моменти часу і описується функцією кореляції. Ця функція визначається як математичне чекання добутку цих значень:

.

Статистичний зв'язок двох випадкових процесів і в моменти і описується функцією взаємної кореляції:

.

Якщо випадкові функції і статистично незалежні, то двомірна щільність імовірності розпадається на добуток двох одномірних

,

функція взаємної кореляції

.

Якщо , то

.

Для деяких процесів середні значення і функція кореляції є вичерпними характеристиками. До таких процесів, зокрема, відноситься процес, що має нормальний розподіл імовірностей. Нормована функція кореляції (коефіцієнт кореляції) визначається виразом

.

В деяких випадках шляхом обробки однієї реалізації можна визначити середнє значення за часом випадкового процесу на інтервалі :

,

де подвійна риска означає усереднення за часом:

.

При останній вираз визначає середню потужність процесу, виділену на опорі 1 Ом.

Варто мати чітку уяву про середнє по ансамблю і середнє за часом. Для визначення середнього по ансамблі потрібно мати у своєму розпорядженні великий набір реалізацій розглядаємого процесу. Обробка цих реалізацій дозволяє обчислити і т. д. Але одержання цілого ансамблю реалізацій можливе при наявності ансамблю однакових систем, тобто систем, у яких відтворені одні і ті самі способи його реєстрації і ті самі умови протікання випадкового процесу. Постановка такого експерименту дуже скрутна. Зазвичай експериментатор має одну установку і за даний проміжок часу від до одержує одну реалізацію цікавлячого його випадкового процесу , визначає середнє за часом. Для деяких процесів, що ми зараз розглянемо, обидва усереднення при досить великому збігаються.

2.11.  Стаціонарні випадкові процеси.

Великий клас практично важливих випадкових процесів складають стаціонарні процеси. Процес називається стаціонарним у вузькому змісті, якщо – мірний закон розподілу при кожнім залежить тільки від інтервалів і не залежить від положення цих інтервалів на осі часу, тобто:

.

Іншими словами, імовірні характеристики стаціонарного процесу не змінюються при зміні початку відліку часу. Очевидно, що всі одномірні щільності імовірності ідентичні і не залежать від часу:

,

усі двомірні щільності імовірності можуть залежати від інтервалу :

.

Випадкові процеси називають стаціонарними в широкому змісті (по Хинчину), якщо математичне чекання і математичне чекання квадрата випадкової величини не залежать від часу (постійні), а кореляційна функція залежить тільки від різниці аргументів :

.

Теорія, що використовує для опису випадкових процесів і називається кореляційною теорією випадкових процесів.

Якщо процес стаціонарний у вузькому змісті, то він стаціонарний у широкому змісті, але не навпаки.

Для стаціонарних випадкових процесів справедлива ергодична теорема, відповідно до якої усереднення по ансамблі можна замінити усередненням за часом, тобто з імовірністю, як завгодно близької до одиниці, можна вважати, що:

,

,

.

Властивість ергодичності має велике практичне значення і дозволяє обходитися однією реалізацією.

Найважливішою характеристикою ергодичного процесу є його кореляційна функція. Пояснимо фізичний зміст цієї функції. Нехай є електрична напруга на виході приймача. Якщо в момент часу значення велике, то малоймовірно, що в момент , де – мала величина, воно стане дуже малим. Якщо ж узяти досить великим, то величина може бути вже якою завгодно. Іншими словами між і існує залежність, що слабшає зі збільшенням . Мірою цієї залежності може бути середньоквадратичне відхилення від , тобто: