Тема: Системи зв’язку та способи передачі повідомлень (стр. 7 )

По мірі збільшення числа можливих значень випадкової величини і зменшення інтервалів між ними, крива стає більш плавною.

2.8.  Диференціальна функція розподілу.

Інтегральна функція розподілу безперервної випадкової величини безперервна і диференційована. Похідна

називається щільністю імовірності чи диференціальною функцією розподілу (диференціальним законом розподілу). Щільність імовірності, як похідна неспадаючої функції (інтегральної функції розподілу), не може приймати негативних значень:

.

Так як

,

то

.

З останнього виразу видно, що має сенс щільності, бо вона дорівнює відношенню імовірності попадання випадкової величини усередину інтервалу до довжини цього інтервалу.

Імовірність того, що випадкова величина міститься між значеннями і

(рис. 2.1,д) визначається формулою

.

Уся площа під кривою дорівнює одиниці:

2.9.  Нормальний закон розподілу.

Нормальний закон розподілу, часто називаний законом Гаусса, відіграє винятково важливу роль у теорії імовірності. Це найбільш часто зустрічаючийся на практиці закон розподілу. Головна особливість, що виділяє нормальний закон серед інших законів, полягає в тому, що він є граничним, до якого наближаються інші закони при дуже часто зустрічаючихся типових умовах. Нормальний закон розподілу характеризується щільністю імовірності виду (рис. 2.2,а):

Максимальна ордината дорівнює відповідає значенню ,

де – математичне чекання,

– середньоквадратичне відхилення величини

,

.

Рис. 2.2. Нормальний закон розподілу:

а – загальний вид кривої ;

б – крива при зміні ; в - крива при зміні .

Безпосередньо з формули видно, що центром симетрії є центр розсіювання . Якщо змінити , то крива буде зміщатися уздовж осі абсцис, не змінюючи своєї форми (рис.2. 2,б).

Параметр характеризує не положення, а форму кривої розподілу (на рис.2.2,в зображена форма кривої при різних значеннях ).

2.10.  Випадкові сигнали (процеси).

У реальних умовах при передачі повідомлень сигнал у точці прийому заздалегідь невідомий, і тому не може бути описаний визначеною функцією часу. Те ж саме можна сказати і про завади, поява яких у каналі може бути обумовлена всілякими і найчастіше невідомими для неї причинами.

Таким чином, реальні сигнали і завади являють собою випадкові процеси. Випадковий процес описується випадковою функцією, значення якої при будь-якому значенні аргументу є випадковими величинами. Аргументом функції може бути величина будь-якої фізичної природи. Для електричних сигналів такої величини зазвичай є час. При незмінних умовах досвіду випадковий процес може приймати ту чи іншу конкретну форму (рис.2.3,а).

Ці можливі форми випадкового процесу називаються його реалізаціями. Сукупність усіх можливих реалізацій випадкового процесу називається ансамблем. Реалізації вже є не випадковими, а детермінованими функціями. Однак пророчити яка реалізація процесу в кожному конкретному випадку неможливо.

Якщо розглядати не кожну реалізацію окремо, а сукупність їхнього великого числа, то можна визначити вірогідні характеристики випадкового процесу. Такими характеристиками є закони розподілу, що можуть бути отримані теоретично чи на основі експериментальних даних.

Нехай є випадковий процес. У деякий момент часу (фіксований) різні реалізації процесу будуть мати різні значення . Значення є випадковою величиною.

Рис. 2.3. Випадкові процеси:

а) ансамбль реалізації;

б) математичне очікування сукупності реалізації

Одномірна функція розподілу (інтегральний закон) визначається як імовірність того, що випадкова величина не перевищить деякого значення :

.

Часна похідна:

називається одномірною щільністю імовірності для .

Двомірним інтегральним законом розподілу випадкового процесу називається імовірність того, що в момент функція не перевищить деякого значення , а в момент - значення .

.

Двомірна щільність імовірності визначається як часна похідна (якщо вона існує) другого порядку:

Добуток виражає імовірність того, що в момент часу функція знаходиться в інтервалі між і , а в момент часу – в інтервалі між і . Аналогічно визначаються трьохмірний, чотирьохмірний і т. д. закони розподілу.

Найбільш повною характеристикою випадкового процесу є – мірний закон розподілу, тобто розподіл для довільно обраних моментів часу. Функція