Метод балансных уравнений в теории газовых лазеров (стр. 3 )

Таким образом задача для неподвижных, с однородно уширенной линией, атомов активной среды решена. Мода резонатора настроена на центр однородно уширенной лоренцевской линии. Если есть отстройка от центра линии, коэффициент Эйнштейна в формулах (26), (27) выразится таким образом

, (28)

где - частота центра однородно уширенной линии индуцированного взаимодействия электромагнитного поля с активной средой,

- частота моды резонатора,

- полуширина лоренцевской формы линии.

Вероятность индуцированного перехода атома с одного энергетического уровня на другой можно представить таким образом

, (29)

где - коэффициент индуцированного взаимодействия атома активной среды с полем электромагнитного излучения.

- поле электромагнитной волны.

При наличии отстройки от центра линии, для однородно уширенной линии активной среды плотность излучения на выходе лазера согласно соотношений (26), (27), (28) выразится такой формулой

. (30)

Рис. 3’

Здесь графически изображена зависимость (30) относительной плотности энергии внутри среды одного из направлений генерации лазера от отстройки моды резонатора относительно центра однородно уширенного контура усиления. Как видно из графика, зависимость имеет не лоренцевскую форму линии.

Для ансамбля атомов неоднородно уширенной линии, движущихся в направлении, совпадающем с направлением распространения индуцирующего поля электромагнитной волны, имеющие проекцию скорости на ось z в интервале частот и имеющие инверсную разность населенностей

, (31)

получается (за счет эффекта Доплера) следующая зависимость для коэффициента индуцированного перехода атомов с однородно уширенной линией

. (32)

где - постоянная Больцмана,

- наиболее вероятная скорость максвелловского распределения атомов по скоростям газового состояния

Для суммы двух встречных волн индуцирующего поля, вероятность индуцируемого перехода атомов, согласно (29), равна

, (33)

где - волновой вектор электромагнитного поля индуцирующего излучения, (к. с.) - комплексное сопряжение выражения, заключенного в предыдущих скобках.

Соотношение (17) является основным условием существования стационарной генерации. До сих пор в этом соотношении не конкретизировался контур линии усиления. Наполним это соотношение информацией об однородном и неоднородном (доплеровском) уширении.

, (17)

где насыщенный коэффициент усиления равен

. (13)

Дифференциал насыщенного коэффициента усиления для выделенного ансамбля атомов в интервале скоростей атомов определится следующим соотношением

(34)

Насыщенная разность населенностей определяется, учитывая (8), (9), соотношением

, (8)

где А и В определяется (7). Обозначив , из (8), (13), (19) получим

. (35)

Прежде, чем подставить соотношения (31), (32), (33) в соотношение (35), приведем соотношение (33) к виду, удобному для дальнейших исследований.

, (36) где множитель r и фазы равны соответственно:

(37)

Подставим соотношения (31), (32), (36) в формулу для дифференциала коэффициента усиления (35) и произведем интегрирование левой и правой части этого соотношения.

. (38)

Где введены обозначения: (39)

F(0) - нормировочный множитель.

Распределение атомов в газе по проэкции скорости на ось z нормировано. Введение лоренцевского однородного уширения нарушает нормировку. Чтобы нормировать ненасыщенный коэффициент усиления, учитывающий как однородное, так и неоднородное уширение, был введен нормировочный множитель, нормирующий интеграл ненасыщенного коэффициента усиления на единицу при отстройке равной нулю от центра контура усиления

. (40)

Если обозначить подъинтегральное выражение в соотношении (38) как , то основное условие существования стационарной генерации (17) запишется таким образом:

. (41)

Используя формулу интегрирования под знаком интеграла [5] , изменим порядок интегрирования в соотношении (41).

(42)

Интегрирование подъинтегрального выражения по координате z сведется к интегрированию множителя подъинтегрального выражения, зависящего от координаты z.

(43)

Если учесть, что интенсивности встречных волн , практически не зависят от координаты z, а это возможно при насыщенных коэффициентах усиления равных несколько процентов, когда коэффициенты отражения зеркал резонатора близки к единице, при этом интенсивность излучения внутри лазера на два порядка выше, чем интенсивность на выходе этого лазера, и слабо зависит от координаты z, то знаменатель подъинтегрального выражения можно разложить в ряд по слагаемому, содержащему функцию , которая зависит от координаты z. Интегрирование первого слагаемого ряда даст добавку с множителем , которой можно пренебречь. Также можно пренебречь и последующими слагаемыми, которые еще меньше, чем первое. В итоге интеграл (43) будет равен:

(44)

С учетом перечисленных условий, учтенных при выводе формулы существования стационарной генерации газового лазера, соотношение (41) примет вид

, (45)

где - интенсивность или плотность энергии электромагнитной волны внутри активной среды, - коэффициент насыщения активной среды, - ненасыщенный коэффициент усиления активной среды, - нормировочный множитель интегральной функции неоднородно уширенного, насыщенного контура усиления активной среды.

Соотношение (45) запишем в относительном виде, который удобно применять при решении задачи на ЕВМ

, (46)

где - относительный коэффициент потерь по отношению к ненасыщенному коэффициенту усиления.

Следует отметить, что в формулах (45), (46) нет ограничений на величину плотности энергии внутри активной среды. Ограничения только есть на величину насыщенного коэффициента усиления, он должен быть намного меньше единицы, при котором плотность энергии практически не зависит от координаты длины трубки. При условии стационарной генерации коэффициент потерь должен быть равен насыщенному коэффициенту усиления, поэтому задача разрешима при величине коэффициента потерь намного меньшей единицы.