Тема 4. Механика твердого тела (стр. 2 )

, .

Легко видеть, что эти выражения аналогичны формулам (1.8а) и (1.8б) для неравнопеременного движения частицы.

4.2. Основное уравнение динамики вращательного движения

Для того чтобы сформулировать это уравнение, представим произвольное тело в виде совокупности элементарных частей. Момент импульса -ой части массой относительно точки

, (4.3)

где

(4.4)

представляет собой импульс -ой части тела (рис. 4.2,а). Сделав в (4.3) замену (4.4), получим:

.

Согласно определению векторного произведения, вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и . Момент импульса всего тела относительно точки представляет собой сумму: (далее при суммировании по всем частям тела мы будем указывать лишь индекс под знаком суммы).

Пусть тело представляет собой цилиндр и вращается относительно оси , совпадающей с ось симметрии (рис. 4.2,б). Вследствие вращения -ая часть тела имеет момент импульса . Момент импульса -ой части, расположенной симметрично -ой относительно оси , представляет собой вектор . Если массы этих частей одинаковы, модули векторов и равны; поэтому векторная сумма и дает вектор, направленный вдоль оси (на рис. 4.2,б он не показан). Из подобных рассуждений, которые называются соображениями симметрии, следует, что вектор

Рис. 4.2

момента импульса цилиндрического тела, вращающегося относительно оси симметрии, направлен вдоль этой оси.

Найдем проекцию вектора момента импульса несимметричного твердого тела на ось вращения, т. е. момент импульса относительно оси. На рис. 4.3 видно, что для -ой части тела , где . Поскольку векторы и перпендикулярны, , . Так как , . Учитывая, что , имеем:

. (4.5)

Проекция момента импульса всего тела на ось вращения:

.

Сделав в этом равенстве замену (4.5), получим:

. (4.6)

Рис. 4.3

Легко видеть, что проекция момента импульса тела не зависит от положения точки на оси вращения. Величина

(4.7)

называется моментом инерции тела относительно оси , единицей измерения момента инерции служит 1кг∙м2. Необходимо подчеркнуть, что любое тело обладает моментом инерции относительно определенной оси независимо от того, вращается оно или нет. Здесь уместна аналогия с массой тела, которая характеризует его инертность при поступательном движении: тело обладает массой независимо от того, движется оно или нет.

С учетом (4.7) получим, что , и перепишем уравнение (3.25):

.

Поскольку для твердого тела , . Учитывая, что , имеем:

. (4.7А)

Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

4.3. Момент инерции

Из определения момента инерции (см. (4.7)) следует, что эта физическая величина является аддитивной, т. е. момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Необходимо понимать также, что вычисление по формуле (4.7) дает нам, строго говоря, лишь приближенное значение момента инерции. Причина этого в том, что различные точки объема , который занимает -ая часть тела массой , находятся все же на различных расстояниях от оси . Для того, чтобы получить выражение для вычисления точного значения момента инерции, необходимо дать определение плотности тела в некоторой его точке.

Понятно, что отношение представляет собой среднюю плотность тела в объеме :

. (4.8)

Перейдя к пределу отношения (4.8) при , получаем плотность тела в - ой точке, в которую стягивается этот объем:

.

Согласно равенству (4.7)

. (4.9)

Ясно, что сумма в правой части (4.9) тем точнее выражает момент инерции тела, чем меньше объем . Точное значение получается как предел этой суммы при стремлении к нулю:

.

В математике такой предел называется тройным интегралом, или интегралом по объему тела:

. (4.10)

Более подробные сведения о тройных интегралах излагаются в курсе высшей математики.

Если тело однородно, т. е. , интеграл (4.10) упрощается: