Тема 4. Механика твердого тела (стр. 3 )

.

Вычисление момента инерции еще больше упрощается, если тело обладает осевой или сферической симметрией. В частности, можно показать, что момент инерции цилиндрического тела относительно оси симметрии

, (4.11)

где - масса, - радиус основания цилиндра. Поскольку численное значение момента инерции не зависит от высоты цилиндра, формулу (4.11) можно использовать и для вычисления момента инерции диска.

Далее рассмотрим тело произвольной формы и две параллельные оси, одна из которых проходит через центр масс (рис. 4.4). Найдем момент инерции этого тела относительно оси , находящейся на расстоянии от оси . Положение различных элементарных частей тела относительно рассматриваемых осей будем характеризовать их проекцией на ось, также проходящую через центр масс. Тогда момент инерции тела относительно оси можно представить в виде суммы:

Рис. 4.4

.

На рис. 4.4 видно, что ; поэтому

. (4.12)

Легко видеть, что первое слагаемое здесь равно (- масса тела), третье слагаемое – это момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Для того чтобы найти значение второго слагаемого, обратимся к равенству (1.14) для радиус-вектора центра масс тела:

.

Спроецировав это равенство на ось , получим: . Поскольку центр масс совпадает с точкой , ; следовательно, сумма также равна нулю, и формула (4.12) принимает вид:

(здесь - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс). Последнее равенство известно в механике как теорема Штейнера: момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

4.4. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Если тело вращается относительно неподвижной оси с угловой скоростью , элементарная часть тела массой , находящаяся на расстоянии от оси вращения, обладает линейной скоростью . Следовательно, ее кинетическая энергия

,

а энергия всего тела

.

Поскольку все точки тела вращаются с одинаковой угловой скоростью,

.

Учитывая, что (момент инерции тела относительно рассматриваемой оси), находим, что

.

Последнее выражение аналогично формуле для кинетической энергии твердого тела, движущегося поступательно:

.

Действительно, аналогом массы как меры инертности при поступательном движении является момент инерции, аналогом скорости поступательного движения – угловая скорость вращения.

Далее найдем работу, совершаемую внешней силой при вращении твердого тела относительно оси . Пусть сила направлена по касательной к окружности, вдоль которой движется точка приложения силы (рис. 4.5,а). В соответствии с правилом правого винта вектор угловой скорости направлен в плоскость рисунка. За элементарный промежуток времени точка пройдет по дуге окружности путь . Поскольку в любой точке дуги вектор силы направлен по касательной, элементарная работа . Так как , то . Учитывая, что (модуль момента силы относительно оси вращения), получим, что .

Теперь пусть сила направлена произвольно относительно оси вращения (рис. 4.5,б). Представим ее в виде суммы трех компонент: . Здесь - тангенциальная составляющая, и - составляющие силы , параллельная и перпендикулярная оси вращения. Поскольку векторы и перпендикулярны перемещению точки приложения силы при вращении тела, их работа равна нулю. Следовательно, и в случае произвольного направления силы ее работа обусловлена только тангенциальной составляющей:

, (4.13)

Рис. 4.5

где . Эта формула аналогична формуле для работы силы при поступательном движении: , где - угол между векторами силы и перемещения (рис. 3.1). Поскольку (проекция вектора силы на направление вектора перемещения), . Из сравнения этого выражения с формулой (4.13) следует, что величина является аналогом , угол поворота - аналогом . Разделив элементарную работу на время , находим мгновенную мощность: