Тема 4. Механика твердого тела (стр. 1 )

ТЕМА 4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Кинематика вращательного движения

В курсе теоретической механики доказывается, что плоское движение твердого тела можно представить в виде суперпозиции поступательного и вращательного движения относительно определенной оси. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной прямой, называемой осью вращения; быстрота вращения характеризуется угловой скоростью. Если за равные промежутки времени тело поворачивается на один и тот же угол , вращение называется равномерным, а величина

(4.1)

представляет собой модуль угловой скоростью вращения. Из (4.1) следует, что единица измерения угловой скорости в СИ - 1 радиан в секунду (1 рад/с). Поскольку ось, относительно которой происходит вращение, имеет вполне определенное направление в пространстве, угловая скорость – это векторная величина. Направление вектора угловой скорости связано с направлением вращения тела правилом правого винта. В соответствии с этим угол поворота считается положительным, если вектор угловой скорости сонаправлен с положительным направлением оси; при этом проекция на ось также положительна. Если же вектор угловой скорости направлен в противоположную сторону, угол поворота и проекция отрицательны. При неравномерном вращении отношение представляет собой модуль средней угловой скорости за промежуток ; если же перейти к пределу этого отношения при , получим модуль мгновенной угловой скорости:

.

Быстрота изменения угловой скорости при неравномерном вращении тела характеризуется угловым ускорением. Если за равные промежутки времени угловая скорость изменяется на одинаковую величину , такое вращение называется равнопеременным, а отношение - угловым ускорением:

.

В случае неравнопеременного вращения предел этого отношения при называется мгновенным угловым ускорением:

. (4.2)

Из последнего равенства следует, что размерность модуля углового ускорения – 1 рад/с2.Понятно, что при увеличении угловой скорости векторы и сонаправлены, при замедлении вращения они направлены в противоположные стороны.

Пусть твердое тело вращается относительно оси , а его точка при этом описывает окружность радиуса (рис. 4.1). За время радиус окружности, проведенный в точку , повернется на угол , а сама точка переместится вдоль окружности по дуге длиной . Ясно, что модуль мгновенной скорости точки . Из определения радианной меры угла следует, что . Поэтому

.

На рис. 4.1 видно, что ; соответственно

.

Учитывая взаимное расположение векторов , , , а также последнюю

Рис. 4.1

формулу, вектор мгновенной скорости можно представить в виде векторного произведения:

.

Поскольку , для модуля нормального ускорения имеем:

.

Продифференцируем выражение по времени:

.

В разделе (1.2) уже отмечалось, что производная характеризует быстроту изменения модуля мгновенной скорости (тангенциальное ускорение):

.

Учитывая, что

(модуль углового ускорения), получим: .

Основная задача кинематики вращательного движения состоит в том, чтобы найти угол поворота тела относительно начального положения в любой момент времени. Из равенства (4.1) следует, что при равномерном вращении относительно оси (здесь - величина алгебраическая, - проекция ускорения на ось ). Поскольку , (здесь - угол в момент времени , - в начальный момент ), имеем: . Полагая в последнем равенстве , получим зависимость угла поворота тела от времени при вращении с постоянной угловой скоростью: . Сравним это равенство с одной из формул (1.4А), определяющей зависимость от времени абсциссы частицы при равномерном движении на плоскости:. Легко видеть, что величины и являются аналогами координат и , проекция угловой скорости – аналогом проекции вектора на ось абсцисс. Рассуждая подобным образом, можно получить формулы для зависимости от времени угла поворота и проекции угловой скорости тела при равнопеременном вращении, аналогичные формулам (1.6) и (1.6А) для равнопеременного движения частицы:

, .

Понятно, что в этих равенствах - это проекция на ось вектора угловой скорости в момент , - проекция вектора углового ускорения. В случае неравнопеременного вращения