Тема 4. Механика твердого тела (стр. 4 )

.

Сделав в последнем выражении замену (4.13), получим:

.

Эта формула аналогична формуле для мощности при поступательном движении тела: (см. п. 3.1). Действительно, проекция момента силы на направление вектора угловой скорости является аналогом проекции силы на направление вектора скорости поступательного движения.

4.5. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении

Как уже отмечалось, в теоретической механике доказывается, что плоское движение твердого тела можно представить в виде суперпозиции поступательного и вращательного движения относительно определенной оси. При этом скорость поступательного движения может различаться, но угловая скорость вращения всегда одна и та же независимо от того, относительно какой оси происходит вращение.

Проиллюстрируем это на примере цилиндра, который катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. В первом случае модуль скорости точки цилиндра , где - угловая скорость вращения цилиндра относительно оси , проходящей через точку касания цилиндра и поверхности (рис. 4.6,а). Поскольку эта ось перемещается вместе с цилиндром, она называется мгновенной осью. Во втором случае модуль скорости этой же точки можно представить в виде суммы: (рис. 4.6,б). Здесь - скорость точки , обусловленная вращением цилиндра относительно оси , совпадающей с его осью симметрии, -

Рис. 4.6

скорость перемещения оси, т. е. скорость поступательного движения цилиндра. Легко показать, что также равна . Действительно, за один полный оборот цилиндра ось переместится вдоль направления движения на отрезок длиной . В соответствии с этим

,

где - время одного оборота. Поскольку , (что и требовалось доказать), . Так как скорость точки имеет такое же значение, как и в случае, представленном на рис. 4.6,а, угловые скорости вращения цилиндра обоих случаях также одинаковы.

Таким образом, в первом случае поступательное движение вообще не участвует в представлении плоского движения тела – имеется только вращение относительно мгновенной оси . Во втором случае используется как поступательное, так и вращательное движение относительно оси ; при этом угловые скорости в обоих случаях одинаковы.

Представим плоское движение тела как суперпозицию поступательного движения точки со скоростью и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку (рис. 4.7,а). Поскольку тело вращается по часовой стрелке, вектор угловой скорости направлен в плоскость рисунка. Выделим элементарную часть тела массой ; ее положение относительно точки определяется радиус-вектором . Тогда составляющая скорости -ой части тела, обусловленная только его вращением, равна , а полная ее скорость в неподвижной системе отсчета

. (4.14)

Рис. 4.7

Кинетическая энергия этой части тела

.

Поскольку кинетическая энергия – это скалярная величина, квадрат скорости в этом равенстве следует рассматривать как скалярное произведение . В соответствии с (4.14) имеем:

. (4.15)

Первое слагаемое в правой части (4.15):

. (4.16)

Для того чтобы вычислить третье слагаемое, будем считать, что ось вращения этого же тела направлена вертикально (рис. 4.7,б). На рисунке видно, что

, .

Поэтому

, . (4.17)

Сделав в (4.15) замену (4.16) и (4.17), получим:

.

Кинетическая энергия всего тела представляет собой сумму:

. (4.18)

Первое слагаемое в последнем равенстве – это кинетическая энергия поступательного движения всего тела, второе слагаемое – кинетическая энергия его вращения относительно оси, проходящей через точку . Для того чтобы вычислить третье слагаемое, перепишем его по-иному, воспользовавшись свойствами смешанного произведения векторов:

.

Согласно (1.14)

.

Поэтому равенство (4.18) можно представить следующим образом:

. (4.19)

Не рассматривая физический смысл третьего слагаемого, представим плоское движение этого же тела как суперпозицию поступательного движения со скоростью центра масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс. В этом случае , и формула (4.19) упрощается:

.

Таким образом, кинетическую энергию твердого тела при плоском движении можно представить в виде суммы энергии поступательного движения со скоростью центра масс и энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс.

4.6. Гироскоп

В качестве иллюстрации применения сформулированных выше законов механики твердого тела рассмотрим гироскопический эффект и обусловленное этим эффектом явление прецессии гироскопа.

Гироскоп представляет собой массивное твердое тело, обладающее осевой симметрией. Как уже отмечалось, вектор момента импульса тела, вращающегося относительно оси симметрии, направлен вдоль этой оси. Поэтому если «раскрутить» гироскоп, сообщив ему большую угловую скорость, и не оказывать на него никакого силового воздействия, то в соответствии с уравнением (3.25) направление вектора момента импульса и, соответственно, оси гироскопа будет оставаться неизменным. Это явление позволяет использовать гироскоп в качестве основного элемента навигационных приборов на судах морского и воздушного флота, а также на космических кораблях.

Пусть нижний конец оси вращающегося гироскопа закреплен в шарнире – устройстве, позволяющем оси свободно отклоняться и занимать любое положение относительно вертикали. Попытаемся отклонить ось гироскопа в направлении , подействовав на другой ее конец силой (рис. 4.8). С точки зрения «здравого смысла» ось гироскопа должна отклониться в направлении действия силы, однако вопреки этому ось отклонится в направлении , перпендикулярном . Такое «противоестественное» на первый взгляд поведение гироскопа и называется гироскопическим эффектом.

Гироскопический эффект находится в полном согласии с законами механики твердого тела. Действительно, в соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения, в результате действия силы момент импульса гироскопа, направленный вдоль оси вращения, получает приращение (- вектор момента этой силы относительно точки ,

Рис. 4.8

направленный вдоль ). Для наглядности начало вектора находится в точке , его конец – в точке приложения силы. Поскольку , вектор

сонаправлен с вектором ; именно поэтому ось гироскопа отклонится в направлении .

Опыт показывает, что если толчком отклонить вращающийся гироскоп от вертикали, его ось начнет описывать коническую поверхность. Это явление, называемое прецессией гироскопа, обусловлено упомянутым выше гироскопическим эффектом. Действительно, на рис. 4.9 видно, что при отклонении гироскопа возникает момент силы тяжести относительно точки . Под действием этого момента за промежуток времени вектор момента импульса получит приращение . Так как вектор перпендикулярен плоскости, проходящей через вертикаль и ось гироскопа, эта плоскость за время повернется относительно вертикали на угол . Таким образом, ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться, т. е. прецессировать. Поскольку направление перемещения оси перпендикулярно силе тяжести, в отсутствие силы трения в шарнире и сопротивления среды полная механическая энергия гироскопа оставалась бы неизменной, т. е. прецессия продолжалась бы неограниченно долго.

Рис. 4.9

Угловая скорость прецессии . Заменив дугу окружности, описываемой концом вектора , хордой длиной , имеем:

.

Учтем, что , , ( - угловая скорость вращения гироскопа, - его момент инерции). На рис. 4.9 видно, что ( - масса гироскопа, - расстояние от шарнира до центра масс). Поэтому получим:

, .

Примечательно, что угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона гироскопа относительно вертикали.