Программа дисциплины (syllabus) (стр. 2 )

Одним из важнейших этапов проектирования строительных конструкций МКЭ является составление расчетной схемы. Расчётная схема сооружения в инженерной механике – это упрощённое изображение сооружения, принимаемое для расчёта. Различают несколько видов расчётных схем, отличающихся основными гипотезами, положенными в основу расчёта, а также используемым при расчёте математическим аппаратом. Чем точнее расчётная схема соответствует действительному сооружению, тем более сложен ее расчёт. По характеру учёта пространственной работы – одно, двух - и трёхмерные системы. По виду неизвестных – дискретные, дискретно-континуальные и континуальные. По виду конструкций, положенных в основу расчётной схемы – стержневые, пластинчатые, оболочковые и массивные. По учёту инерционных сил – статические и динамические.

Примеры использования МКЭ к расчетам современных зданий и сооружений: расчеты многоэтажных жилых и общественных зданий, зданий и сооружений промышленного назначения; расчеты пространственных конструкций и др.

Литература: [1] - [5].

Тема 2 Теоретические основы метода конечных элементов. Обзор основных программных комплексов

1) Элементы линейной алгебры в расчетах МКЭ. Расчет строительных конструкций МКЭ ведется с использованием понятий вектора и матрицы. Вектором называется система n чисел x=x1, x2 ….xn, записываемых обычно в виде вектора-столбца, где x1, x2 ….xn – компоненты вектора. Над векторами выполняются операции сложения и умножения на число. Обычно используются операции умножения вектора на матрицу. Прямоугольной матрицей A называется прямоугольный массив символов или чисел, упорядоченных в строки и столбцы. Расчет конструкций МКЭ вызывает необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений. Для их решения можно применять разные методы. По существу все они относятся к одной из двух групп: прямые (точные) и итерационные (приближенные) методы. Прямые методы дают решение за конечное число действий, они просты и наиболее универсальны; точность вычисления неизвестных в них определяется лишь накоплением погрешностей округления при выполнении арифметических операций. Решение системы итерационными методами осуществляется путем последовательных приближений от первоначально принятых значений неизвестных к более точным.

2) Основные соотношения МКЭ. Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину, выражающую какие-то свойства исследуемого объекта, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая состоит из кусочно-непрерывных функций. Каждая из этих функций определена в некоторой подобласти, число которых должно быть конечным. В качестве функций используются линейные, квадратичные или кубические полиномы. В целом, основная схема применения МКЭ состоит в следующем:

1. В рассматриваемой области исследуемого объекта фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.

2. Значения определяемой функции в этих узловых точках считаются неизвестными.

3. Вся область определения непрерывной функции разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Соседние элементы имеют общие узловые точки и в совокупности должны точно аппроксимировать всю форму области.

4. Вычисляемая непрерывная функция аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется (выражается) с помощью узловых значений этой функции. Формирование (получение) системы линейных алгебраических уравнений осуществляется через минимизацию функционала, характеризующего данный объект,

5. Решение этой системы относительно неизвестных узловых значений.

6. Окончательное вычисление всех необходимых физических величин в каждом элементе.

3) Основы расчета стержневых систем МКЭ. Различают следующие типы КЭ, которые используются в стержневых системах (балки, фермы, рамы и др.): КЭ фермы, работающие только на растяжение-сжатие и балочные КЭ, в основу работы которых положен изгиб. В свою очередь, КЭ фермы разделяют на КЭ плоской фермы и КЭ пространственной фермы, а балочные КЭ на КЭ, работающий только на изгиб, КЭ, работающий на растяжение-сжатие и изгиб, на КЭ, работающий на изгиб и кручение, и балочный пространственный КЭ. Конечный элемент фермы в местной системе координат - это стержень с одной степенью свободы в каждом узле, направленной вдоль оси стержня. Конечный элемент плоской фермы применяется для моделирования балочной и консольно-балочной плоской фермы, шпренгельной и трех шарнирной арочной фермы, фермы с различными видами решетки, различным характером очертания и т. д. Если стержни фермы расположены в трехмерном пространстве - имеем пространственную ферму. Для моделирования произвольной статически определимой и статически неопределимой балки, произвольной рамы, трех шарнирной рамы, двух шарнирной арки, различных комбинированных систем (цепь с балкой жёсткости, балка с гибкой аркой и т. д.) используется балочный КЭ, работающий на растяжение-сжатие и изгиб, и его модификации - КЭ с произвольными шарнирами в узлах. Уравнение жесткости для КЭ записываются в виде [Kr] ×{Zr} = {Рr}, где [Kr] – матрица жесткости r-го КЭ; {Zr}-вектор узловых перемещений КЭ; {Рr}-вектор узловых сил КЭ. После формирования матриц жесткостей определения всех конечных элементов формируется матрица жесткости всей системы и выполняется расчет стержневой системы.

4) Основы расчета сплошных строительных конструкций. К этой категории относят плоские конструкции типа балок-стенок (например, стеновая панель, диафрагма жесткости и др.), объемные, т. е. трехмерные сплошные конструкции (массивные фундаменты и др.), изгибаемые плиты (перекрытия и покрытия зданий, фундаментные плиты и др.). При расчете плоских элементов конструкция разбивается на совокупность конечных элементов (прямоугольные, треугольные) в которых непрерывная функция перемещений аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой функции. Осуществляется построение матриц жёсткости треугольного и прямо­угольного плоских конечных элементов. Далее формируется глобальная матрица жёсткости системы конечных элементов всей конструкции. В целом идея и последовательность решения плоской задачи теории упругости МКЭ в форме метода перемещений аналогична идее и последовательности, рассмотренной ранее для стержневых систем. Решение пространственных континуальных задач связано с использованием конечных элементов в виде пирамид, параллелепипедов и призм. Здесь поле перемещений угловых точек рассматривается в объемной постановке. В целом идея и последовательность решения объемной задачи теории упругости МКЭ в форме метода перемещений аналогична идее и последовательности, рассмотренной ранее для плоских систем. Для расчета плит используется дифференциальное уравнение изгиба пластинки. В пластинке кроме изгиба в продольном направлении учитывают еще изгиб в поперечном направлении и кручение. Решение задачи об изгибе пластинки заключается в нахождении выражения прогиба w(x, y), которое удовлетворяло бы основному уравнению изгиба пластинки и условиям на опорном контуре. Используя выражение прогиба, находят изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы, а по ним - напряжения. Для расчета плит МКЭ используются треугольные и прямоугольные элементы. Решение задач расчета сплошных конструкций основывается на использовании системы сложных уравнений теории упругости и строительной механики. Однако при практических расчетах конструкций с помощью современных программных вычислительных комплексов (ПВК) такие задачи решать не приходится. Это связано с наличием в таких ПВК обширных библиотек конечных элементов, включая и стержневые конструкции. Автоматизированы также все процедуры решения систем уравнений и определения компонент напряжений и деформаций в каждом элементе.

5) Обзор основных программных комплексов, реализующих МКЭ. Благодаря высокой приспособленности МКЭ к возможностям современной вычислительной техники в настоящее время существует множество самых различных по своей направленности и по своим возможностям вычислительных комплексов, реализующих метод конечных элементов. Большое распространение получили программы ANSYS, COSMOS/M, ЛИРА, SCAD, STAAD Pro, FEM models, PLAXIS, Robot Millennium, STARK, SOFiSTiK и др. Выполнение углубленных численных исследований увеличивает возможность строгого учета различных, часто весьма существенных, конструктивных особенностей рассматриваемого объекта в используемых конечно-элементных моделях. Конечно, сокращение времени вычислений по-прежнему продолжает играть важную роль, заставляя вводить определенные упрощения в расчетную схему, т. е. заведомо огрубляя ее. Это связано с тем, что ресурсы как используемой программы, так и ПЭВМ ограничены, но не это определяет качество расчетов. Основное внимание переносится теперь на построение наиболее адекватных расчетных схем, на максимальное приближение математической модели к реальной конструкции. Современные вычислительные комплексы широко используются в расчетах различных зданий и сооружений: жилые, общественные и промышленные здания, грунтовые основания и др. Наибольшее распространение в строительной практике получили программы SCAD, ЛИРА, PLAXIS и др. ( обзор основных программ).

Литература: [1] - [5].

Тема 3 Расчет напряженно-деформированного состояния строительных конструкций по программе SCAD

1) Общая характеристика ПВК SCAD. Запросам современных конструкторов отвечает программный комплекс SCAD Office. Пакет SCAD Office представляет собой набор программ, предназначенных для выполнения прочностных расчетов и проектирования различного вида строительных конструкций. В состав пакета входят программы четырех типов:

• вычислительный комплекс Structure CAD (ВК SCAD), который является универсальной расчетной системой конечно-элементного анализа конструкций и ориентирован на решение задач проектирования зданий и сооружений достаточно сложной структуры;

• проектно-аналитические программы КРИСТАЛЛ, АРБАТ, КАМИН, ВЕСТ, ДЕКОР, ЗАПРОС, которые предназначены для решения частных задач проверки и расчета элементов строительных конструкций и оснований фундаментов.

• проектно-конструкторские программы КОМЕТА и МОНОЛИТ, предназначенные для разработки конструкторской документации на стадии детальной проработки проекта.