Глава 2. Вызначаны інтэграл (стр. 2 )

Геаметрычны сэнс: ніжняя сума Дарбу – плошча прыступкавай фігуры, якая ўпісана ў крывалінейную трапецыю і складаецца з прамавугольнікаў з асновамі Dxk і вышынямі mk; верхняя сума Дарбу – плошча прыступкавай фігуры, у якую ўпісана крывалінейная трапецыя і якая складаецца з прамавыгольнікаў з асновамі Dxk і вышынямі Mk.

п°1. Уласцівасці сум Дарбу

Няхай s, S, I(T, f, xk) – сумы Дарбу і інтэгральная сума Рымана.

Лема 1. Для любой Т – разбіўкі адрэзка [a, b] маюць месца няроўнасці:

а) s £ I(T, f, xk) £ S;

б) s £ S.

Лема 2. Пры павялічэнні пунктаў разбіўкі Т ніжняя сума Дарбу можа толька павялічваецца, а верхняя сума Дарбу толькі памяншацца.

  для ніжняй сумы Дарбу (для верхняй сумы Дарбу зрабіць самастойны доказ).

Малюнкі

Заўвага. Калі f(x) ³0, то даказаная ўласцівасць мае геаметрычны сэнс: сума плошчаў прамавугольнікаў з асновамі [xk-1, х'] і [x', хk] не меней плошчы прамавугольнікаў з асновамі [xk-1, хk].

Лема 3. Ніжнія сумы Дарбу не болей верхніх сум Дарбу нават іншай разбіўкі.

Няхай s' i S' – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т',

s" i S" – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т",

s i S – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т.

Разбіўка Т аб’ядноўвае разбіўкі Т' і Т ".

Азначэнне 2. Ніжнім інтэгралам Дарбу называецца дакладная верхняя мяжа мноства ніжніх сум Дарбу {s} "T – разбіўкі адрэзка [a, b] і абазначаецца I* = sup{s}.

Верхнім інтэгралам Дарбу называецца дакладная ніжняя мяжа мноства верхніх сум Дарбу {S} "T – разбіўкі адрэзка [a, b] і абазначаецца I* = inf{S}.

Відавочна, што I* £ I*. Таму на падставе уласцівасці inf і sup мае месца няроўнасць s £ I* £ I*£ S для любых ніжніх і верхніх сум Дарбу.

Лема 4. Для любых інтэгральных сум I(T, f, xk) адпаведнай Т - разбіўкі адрэзка [a, b] маюць месца няроўнасці

½ I(T, f, xk) - I* ½£ S – s i ½ I*- I(T, f, xk) ½£ S – s.

§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый.

Класы інтэгравальных функцый

Нагадаем азначэнне інтэгравальнай функцыі.

Тэарэма 1. Для таго, каб функцыя f была інтэгравальнай на адрэзку [a, b] неабходна і дастаткова, каб "e > 0 $d > 0, што як толькі l < d, то мае месца няроўнасць S - s < e. (1)

Тэарэма 2. Для таго, каб функцыя f была інтэгравальнай на адрэзку [a, b] неабходна і дастаткова, каб на гэтым адрэзку былі роўныя ніжні і верхні інтэгралы Дарбу: I* = I*. (без доказа)

Класы інтэгравальных функцый

У §2 была даказана тэарэма аб абмежаванасці інтэгравальных функцый і была заўважана, што інтэгралы ад неабмежаваных функцый не існуюць.

Апішам тыя функцыі, які будуць інтэгравальны на адрэзку [a, b] па Рыману.

Тэарэма 3. Непарыўная на адрэзку [a, b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.

Для доказа будзем карыстацца неабходнай і дастатковай умовай інтэгравальнасці, тэарэма Вайерштраса І і ІІ, паняцце раўнамернай непарыўнасці функцыі і тэарэмай Кантара.

Заўвага 1. Мноства ўсіх непарыўных на адрэзку [a, b] функцый абазначаецца C[a, b].

Паколькі кожная з непарыўных функцы інтэгравальная на адрэзку [a, b], то кажуць, што непарыўныя функцыі адносяцца да класу інтэгравальных функцый.

Заўвага 2. Можна даказаць, што функцыя, якая язначана на адрэзку [a, b] і якая мае на ім концавы пункт разрыву І роду (кускова-непарыўная функцыя) інтэгравальная на адрэзку [a, b].

Выснова. Кускова-непарыўная на адрэзку [a, b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку і таму адносяцца да класу тньэгравальных функцый..

Тэарэма 4. Манатонна на адрэзку [a, b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.

  для нарастальнай функцыі.

Заўвага 4. Манатонныя на адрэзку [a, b] функцыі адносяцца да класу інтэгравальных функцый.

§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла

У азначэнні вызначанага інтэграла лічылася, a < b. Будзем лічыць, што:

а) = - ; б) = 0.

1°(адытыўнасць). ±, калі функцыі f i g інтэгравальныя на адрэзку [a, b].

2° (аднароднасць). = .

3° (лінейнасць). = + +…+.

4° (адытыўнасць на адрэзку). Калі f интэгравальная на адрэзку [a, b] функцыя, с Î [a, b], то =+.

5° . Калі f iнтэгравальная на адрэзку [a, b] функцыя і "x Î [a, b] f(x) ³ 0, то ³ 0.

6°. Калі f і g iнтэгравальныя на адрэзку [a, b] функцыі і "x Î [a, b]

f(x) £ g(x) (f(x) < g(x) ), то £ ( < ).

7°. Калі f интэгравальная на адрэзку [a, b], то ½ ½£ .

8° (Тэарэма аб сярэднім). Калі функцыя f непарыўная на на адрэзку [a, b], то існуе пункт с Î [a, b] такі, што = f(c)(b - a).

9° (абагульнённая тэарэма аб сярэднім). Калі f і g непарыўныя на адрэзку [a, b] функцыі і g не мяняе свой знак на гэтым адрэзку, то існуе пункт с Î [a, b] такі, што = f(c) .

Доказ уласцівасцей зрабіць самастойна.

§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой.

Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі.

Формула Ньютана - Лейбніца

Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a, b], г. зн. інтэгравальная на гэтым адрэзку і на кожным адрэзку [a, х] Ì [a, b]: а £ х £ b. Такім чынам існуе або , дзе адрэзку [a, х (акрамя х = а) – зменная велічыня.

Абазначым F(х) = (1) і назавём гэты інтэграл інтэгралам са зменнай верхняй мяжой, а функцыю F(х) – функцыяй верхняй мяжы, азначанай на адрэзку [a, b].

Тэарэма 1. Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a, b], то функцыя (1) дыферэнцавальная ў кожным пункце адрэзка [a, b], і пры гэтым

F¢(х) = ( )¢ = f(x). (2)

Вынік 1. Усякая непарыўная на адрэзку [a, b] функцыя мае на ім першаісную. Адной з першаісных з’яўляецца функцыя F(х) = .

Заўвага 1. Можна разглядзець і функцыю ніжняй мяжы:

F(х) = = - Þ F¢(х) = - f(x).

Прыклад.

Заўвага 2. Геаметрычны сэнс інтэгралам са зменнай верхняй мяжой – плошча крывалінейнай трапецыі з асновай адрэзкам [a, х].

Асноўная формула інтэгральнага злічэння –

формула Ньютана – Лейбніца

Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a, b], то мае месца формула

= F(x)½ab = F(b) – F(a) - формула Ньютана – Лейбніца.

Вывад формулы.

§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў

Метад інтэгравання па частках

Тэарэма 1. Няхай функцыі u i v непарыўныя разам са сваімі вытворнымі на адрэзку [a, b], тады мае месца формула

= uv½ab - . (1)

Доказ зрабіць самастойна.

Прыклад.

Метад інтэгравання заменай зменнай

Тэарэма 2. Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a, b], функцыя x = u(t) мае ўласцівасці:

1)  непарыўная разам з вытворнай u¢(t) на адрэзку [a, b];

2)  "tÎ [a, b] значэнні функцыі u(t) не выходзяць за межы адрэзка [a, b];