Глава 2. Вызначаны інтэграл (стр. 3 )

3)  u(a) = a, u(b) = b.

Тады мае месца формула:

= . (2)

Прыклады.

Інтэгральнае аэначэнне лагарыфма

У главе “Элементарныя функцыі” лагарыфмічная функцыя разгладалася як адваротная да паказнікавай.

Азначэнне 1. Лагарыфмам ліку x > 0 па аснове е называецца і абазначаецца lnx = . (1)

Азначэнне 2. Функцыя, значэнні якой можна знайсці па формуле (1), называецца лагарыфмічнай па аснове е і абазначаецца lnx, а азначэнне, якое задана раўнаннем (1), называецца інтэгральным азначэннем лагарыфма.

Па т.1 §6 (lnx)’ = ()’ = 1/x.

§9. Квадравальныя фігуры

п°1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці

Азначэнне 1. Мнагавугольнікам называецца фігура РÌR2, якую можна прадставіць у выглядзе аб’яднання концавага ліку трохвугольнікаў, якія не маю агульных нутраных пунктаў.

Прыклад.

Плошчу мнагавугольніка абазначым S(P).

У курсе геаметрыі было даказана, што існуе адзінае адлюстраванне S мноства мнагавугольнікаў у мноства сапраўдных лікаў, якое мае наступныя ўласцівасці:

1. Неадмоўнасць: для кожнага мнагавугольніка S(P) ³ 0.

2. Інварыянтнасць: калі А = В, то S(А) = S(В).

3. Адытыўнасць: калі А і В не маюць агульных нутраных пунктаў, то S(АÈВ) = S(А) + S(В).

4. Нармаванасць: існуе мнагавугольнік адзінкавай плошчы

($A, S(А)= 1), які называецца адзінкавым квадратам.

5. Манатоннасць: калі А Í В, то S(А) £ S(В).

п°2. Паняцце квадравальнай фігуры

Няхай Р – фігура ў прасторы R2: P ÌR2. Праз мноствы {A} i {B} абазначым адпаведна мноствы мнагавугольнікаў, якія змяшчаюцца ў Р і якія змяшчаюць Р: {A}ÌР, {В} É Р, а праз S(А) і S(В) – адпаведна плошчы такіх мнагавугольнікаў.

Паколькі кожны мнагавугольнік А змяшчаецца ў В, то А Í В і па ўласцівасці манатоннасці S(А) £ S(В) (1). Гэта значыць, што мноства {S(A)} абмежавана зверху плошчай любога мнагавугольніка В, а мноства {S(В)} абмежавана знізу плошчай любога мнагавугольніка А.

Абазначым sup{ S(А) } = S*(P) (2) , inf {S(В)} = S*(P) (3). Па уласцівасці sup і inf:

S(А) £ S*(P), S(В) ³ S*(P) Þ S*(P) £ S*(P).

Заўвага 1. Калі фігура Р не змяшчае ні воднага мнагавугольніка, то будзем лічыць, што S*(P) = 0, клі няма мнагавугольнікаў, якія змяшчаюць Р, то S*(P) = 0.

Азначэнне 2. S*(P) называецца нутраной плошчай (нутраной мерай) фігуры Р, а S*(P) – вонкавай плошчай (вонкавай мерай) фігуры Р.

Азначэнне 3. Калі выконваецца роўнасць S*(P) = S*(P) = S(P) (4), то фігура Р называецца квадравальнай, а лік S(P) – плошчай фігуры Р.

Азначэнне 4. Адлюстраванне (функцыя) S мноства квадравальных фігур у мноства сапраўдных лікаў: S : {P} ® R, якое мае уласцівасці (1-5) называецца плошчай на класе квадравальных фігур.

Прыклады.

п°3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры

Тэарэма 1 (у тэрмінах мнагавугольнікаў). Для таго, каб фігура Р была квадравальнай і мела плошчу S(P), неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці мнагавугольнікаў (An) i (Bn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць фігуру Р такія, што .

Тэарэма 2 (у тэрмінах квадравальных фігур). Для таго, каб фігура Р была квадравальнай, неабходна і дастаткова каб існавалі дзве паслядоўнасці квадравальных фігур (Qn) i (Pn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць фігуру Р такія, што . (без доказа)

§10. Вылічэнне плошчаў фігур

п°1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат

Няхай фігура Р – крывалінейная трапецыя - фігура, абмежаваная прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x) ³0 "xÎ [a, b]).

Тэарэма 1. Крывалінейная трапецыя – квадравальная фігура і яе плошча можа быць падлічана па формуле S(P) = .

  на падставе крытэрыя квадравальнасці ў тэрмінах мнагавугольнікаў.

Заўвага 1. Аналагічна можна паказаць, што плошча крывалінейнай трапецыі Р, якая абмежавана прамымі y = c, y = d, воссю х = 0 і графікам неадмоўнай, непарыўнай функцыі x = j(y), знаходзіцца па формуле

S(P) = .

Заўвага 2. Любы мнагавугольнік – квадравальная фігура.

Вынік 1. Няхай фігура Р абмежавана прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x) £0 "xÎ [a, b]), то фігура Р – квадравальная і яе плошча S(P) = -.

Заўвага 3. У гэтым выпадку фігура Р не з’яўляецца крывалінейная трапецыяй.

Вынік 2. Няхай фігура Р абмежавана прамымі х = а, х = b і графікамі функцый y = f1(x) і y = f2(x) (f2(x) > f1(x) ³ 0 "xÎ [a, b]), S(P) = .

Няхай функцыя f(x) задана параметрычна сістэмай .(1)

Функцыя j(t) непарыўная разам са сваёй вытворнай і непарыўная на адрэзку [a, b], функцыя y(t)³0 "tÎ[a, b]. Г. зн. на адрэзку [a, b] задана непарыўная неадмоўная функцыя y = y(j -1(x)), дзе a = j(a), b = j(b). Тады плошча крывалінейнай трапецыі, абмежаванай прамымі х = а, х = b і графікам функцыі, якая задана формуламі (1), знойдзецца па формуле

S(P) = . (2)

Заўвага 4. Фомулу (2) можна скарыстаць для вылічэння плошчы фігуры, абмежаванай замкнутай крывой, пры умове: уся крывая абыходзіцца адзіны раз па кірунку гадзінікавай стрэлкі, калі tÎ[a, b].

Прыклад.

п°2. Плошча фігуры ў палярнай сістэме каардынат

Тэарэма 1. Кругавы сектар – квадравальная фігура і яго плошча

S(P) = ½ R2a Þ Sкруга = pR2. (без док.)

Зададзім палярную сістэму каардынат. Няхай на адрэзку [a, b] задана непарыўная функцыя r = f(j). Графік – плоская крывая.

Азначэнне 1. Фігура P, абмежаваная прамянямі j = a, j = b і графікам функцыі r = f(j), называецца крывалінейным сектарам.

Тэарэма 2. Крывалінейны сектар – квадравальная фігура і яго плошча

S(P) = ½. (3)

€

Заўвага 5. Калі фігура P, абмежаваная прамянямі j = a, j = b і графікам функцый r = f1(j), r = f2(j), f2(j) > f1(j), то 1) фігура Р не з'яўляецца крывалінейным сектарам, 2) S(P) = ½.

Прыклад.

§11. Кубавальныя целы

п°1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці

Азначэнне 1. Мнагаграннікам называецца цела GÌR3, якое можна прадставіць у выглядзе аб’яднання концавага ліку трохвугольных пірамід, якія не маю агульных нутраных пунктаў.

Аб’ем мнагагранніка абазначым V(G).

У курсе геаметрыі было даказана, што існуе адзінае адлюстраванне V мноства мнагаграннікаў у мноства сапраўдных лікаў, якое мае наступныя ўласцівасці:

1. Неадмоўнасць: для кожнага мнагагранніка V(G) ³ 0.

2. Інварыянтнасць: калі А = В, то V(А) = V(В).

3. Адытыўнасць: калі А і В не маюць агульных нутраных пунктаў, то V(АÈВ) = V(А) + V(В).

4. Нармаванасць: існуе мнагаграннік адзінкавага аб’ёму ($A, V(А)= 1), які называецца адзінкавым кубам.

5. Манатоннасць: калі А Í В, то V(А) £ V(В).

п°2. Паняцце кубавальнага цела

Няхай G – цела ў прасторы R3: GÌR3. Праз мноствы {P} i {Q} абазначым адпаведна мноствы мнагаграннікаў, якія змяшчаюцца ў G і якія змяшчаюць G: {P}Ì G, {Q} É G, а праз V(P) і V(Q) – адпаведна аб’ёмы такіх мнагаграннікаў.

Паколькі кожны мнагаграннік P змяшчаецца ў Q, то P Í Q і па ўласцівасці манатоннасці V(P) £ V(Q) (1). Гэта значыць, што мноства {V(P)} абмежавана зверху аб’ёмам любога мнагагранніка Q, а мноства {V(Q)} абмежавана знізу аб’ёмам любога мнагагранніка Р.

Абазначым sup{V(P)} = V*(G) (2) , inf {V(Q)} = V*(G) (3). Па уласцівасці sup і inf:

V(P) £ V*(G), V(Q) ³ V*(G) Þ V*(G) £ V*(g).

Заўвага 1. Калі цела G не змяшчае ні воднага мнагагранніка, то будзем лічыць, што V*(G) = 0, калі няма мнагаграннікаў, якія змяшчаюць G, то

V*(G) = 0.

Азначэнне 2. V*(G) называецца нутранным аб’ёмам (нутраной мерай) цела G, а V*(G) – вонкавым аб’ёмам (вонкавай мерай) цела G.

Азначэнне 3. Калі выконваецца роўнасць V*(G) = V*(G) = V(G) (4), то цела G называецца кубавальным, а лік V(G) – аб’ёмам цела G.

Азначэнне 4. Адлюстраванне (функцыя) V мноства кубавальных целаў у мноства сапраўдных лікаў: V : {G} ® R, якое мае уласцівасці (1-5) называецца аб’ёмам на класе кубавальных целаў.

Прыклад.

п°3. Крытэрыі кубавальнасці цела

Тэарэма 1 (у тэрмінах мнагаграннікаў). Для таго, каб цела G былo кубавальным і мела аб'ём V(G), неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці мнагаграннікаў (Pn) i (Qn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць цела G такія, што . (без доказа)