Глава 2. Вызначаны інтэграл (стр. 1 )

Глава 2. Вызначаны інтэграл

§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі

Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце хо мноства Х, г. зн. ("e>0)($d>0)("xÎX)(çx - xoï<d)[çf(x) - f(xo) ç<e]. (1)

Вядома, што d залежыць ад выбара ліку e. Але можна паказаць, што d залежыь і ад выбар пункта хо,у якім азначана непарыўнасць функцыі f (самастойна “К. мат. ана.”, т.1, гл. IY, §12).

Узнікае пытанне: ці існуе непарыўная на прамежку Х функцыя , для якой для кожнага e > 0 можна знайсці адпаведнае d > 0, якое бы не залежыла ад зменнай х, г. зн. адно і тояжа для ўсіх пунктаў х Î Х?

Адказ у азначэнні раўнамернай непарыўнасці функцыі.

Азначэнне 1. Функцыя f называецца раўнамерна непарыўнай на прамежку Х, калі для кожнага e > 0 знойдзецца такое d > 0, што для любых двух пунктаў х1, х2 Î Х, якія задавальняюць няроўнасці çx1 - x2ï<d, выконваецца няроўнасць çf(x1) - f(x2) ç<e:

("e>0)($d>0)("x1,х2ÎX)(çx1 - x2ï<d)[çf(x1 - f(x2) ç<e]. (2)

Заўвага. Калі функцыя f раўнамерна непарыўная на прамежку Х, то яна і непарыўная ў кожным х Î Х.

Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі

Уявіце сябе тонкі, але цвёрды прут. Трэба зрабіць муфту даўжыні d з цыліндрычнай адтуліна й дыяметра e, якая магла бы легка рухацца ўздоўж прута ад пункта А(a, f(a)) да пункта В(b, f(b)) і занімала становішча, пры якім яе вось была паралельна восі Ох. Даўжыня d залежыць толькі ад e - дыяметра адтуліны. Чым меней e, тым карацей муфта.

Рысунак.

Тэарэма Кантара. Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a, b], то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку.

€ метадам ад працілеглага.

Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a, b], але не з’яўляецца раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку. Гэта значыць, што для некаторага e > 0 і любога як мага малога d> 0, знойдуцца два пункты х1, х2 Î [a, b] такіе, што з няроўнасці çx1 - x2ï<d Þ няроўнасць çf(x1) - f(x2) ç³ e. (3)

Выбярэм бясконца малую паслядоўнасць . Будзем сцвярджаць, што для заданага e > 0 і любога n Î N знойдуцца два пункты х1n, х2n Î [a, b] такіе, што для іх выконваецца няроўнасць çx1n - x2nï<dn=®0 , (4)але Þ няроўнасць çf(x1n) - f(x2n) ç³ e (3*). Мы атрымалі на адрэзку [a, b] дзве паслядоўнасці (х1n) (5) , (х2n) (6). Будзем лічыць, што паслядоўнасць (5) збягаецца да ліку хо Î [a, b], г. зн. х1n - хо ® 0, калі n ® ¥ (7). Пакажам, што і паслядоўнасць (6) збягаецца да хо, г. зн., што х2n - хо ® 0, калі n ® ¥.

х2n - хо = х2n + x1n - x1n - хо Þ çх2n – хo ç£ ç х2n - x1nç + ç x1n - хоç.

Адпаведна няроўнасці (4) і сцвярджэння (7) х2n - x1n ®0, х1n - х о ® 0Þ х2n ® хо. Мы даказалі, што абедзве паслядоўнасці (х1n) і (х2n) збягаюцца да аднаго ліку х о. Паслядоўнасці (х1n) і (х2n) абмежаваныя і таму для іх працуе тэарэма Бальцана-Кашы, г. зн. можна вылучыць збежныя падпаслядоўнасці (х1nk) i (х2nk), якія таксама збягаюцца да хо. Паколькі фуекцыя f непарыўная ў кожным пункце адрэзка [a, b], то яна непарыўная і ў пункце хо. Адпаведна азначэння паводле Гайнэ паслядоўнасці значэнняў функцыі (f(х1nk)) i (f(х2nk)) павінны імкнуцца да f(хо), а іх рознасць f(х1nk) - f(х2nk) ®0, калі n ® ¥. Гэта супярэчыць няроўнасці (3*): çf(x1n) - f(x2n) ç³ e "n у тым ліку і для nk.

Атрыманая супярэчнасць даказвае памылковасць дапушчэння аб тым, што функцыя f не з’яўляецца раўнамерна непарыўнай.

§2. Паняцце вызначаннага інтэграла

п°1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла

Задача 1. Аб знаходжанні плошчы крывалінейнай трапецыі.

Азначэнне 1. Фігура, абмежаваная прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x) ³0 "xÎ [a, b]), называецца крывалінейнай трапецыяй.

Няхай на адрэзку [a, b] задана непарыўная функцыя f: f(x) ³0 "xÎ [a, b].

Выканаем Т – разбіўку адрэзка пунктамі а = хо< х1 < …< хn = b; адрэзак [xk-1, хk] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т,

Dхk = xk - хk-1 – даўжыня k – частковага адрэзку, l = max { Dхk }, k Î N. У кожным k – частковым адрэзку выбярэм адвольныя пункты xk Î [xk-1, хk], вылічым значэнне функцыі ў кожным пункце xk і саставім здабытак f(xk)× Dхk - плошча прамавугольніка з вышынёю f(xk) і асновай Dхk.

Сума f(x1)× Dх1 + f(x2)× Dх2 + … + f(xk)× Dхk + … +f(xn)× Dхn = = Sn лікава роўна плошчы прыступкавай фігуры, якая складаецца з прамавугольнікаў f(xk)× Dхk. Чым меней l, тым бліжэй плошча прыступкавай фігуры набліжаецца да плошчы крывалінейнай трапецыі. Таму за плошчу крывалінейнай трапецыі прымем велічыню S:

S = . (1)

Самастойна падрыхтавацць рашэнне задач 2 і 3 па знаходжанню шляху па заданай хуткасці і работы.

п°2. Паняцце вызначанага інтэграла

Няхай на адрэзку [a, b] задана непарыўная функцыя f: f(x) ³0 "xÎ [a, b].

Выканаем Т – разбіўку адрэзка [a, b] пунктамі а = хо< х1 < …< хn = b; адрэзак [xk-1, хk] – адрэзак [xk-1, хk] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т,

Dхk = xk - хk-1 – даўжыня k – частковага адрэзку, l = max { Dхk }, k Î N. У кожным k – частковым адрэзку выбярэм адвольныя пункты xk Î [xk-1, хk].

Саставім суму I(T, f, xk) = . (2)

Cума (2) называецца інтэгральнай сумай функцыі f на адрэзку [a,b], якая адпавядае разіўцы Т і выбару пункта xk. Яе яшчэ называюць сумай Рымана.

Азначэнне 2. Лік І называецца лімітам інтэгральнай сумы I(T, f, xk) функцыі f на адрэзку [a, b] пры l®0, калі "e > 0 $d > 0, што як толькі l < d, то мае месца няроўнасць çІ - I(T, f, xk) ç < e: (3)

= .

Азначэнне 3. Калі існуе концавы ліміт І інтэгральнай сумы, які не залежыць ад Т – разбіўцы і ад выбара пунктаў xk, то ён называецца вызначаным інтэгралам функцыі fна адрэзку [a, b] і абазначаецца сімвалам

: = . (4)

Геаметрычны сэнс: вызначаны інтэграл – плошча крывалінейнай трапецыі.

Заўвага. Калі існуе ліміт (4), то кажуць, што функцыя f інтэгравальная на адрэзку [a, b] ( па Рыману); a, b адпаведна ніжняя і верхняя межы інтэгравання, f(x) – падынтагральная функцыя, х – зменная інтэгравання.

Прыклад 1. Карыстаючысь азначэннем (3), вылічыць вызначаны інтэграл ад функцыі у = с – канстанты.

Прыклад 2. Карыстаючысь азначэннем (3), вылічыць вызначаны інтэграл .

Тэарэма 1 (неабходная ўмова інтэгравальнасці функцыі). Калі функцыя f інтэгравальная на адрэзку [a, b], то яна абмежаваная на гэтым адрэзку.

Вынік. Вызначаны інтэграл ад неабмежаванай функцыі не існуе.

Заўвага 1. Умова абмежаванасці на адрэзку [a, b] функцыі f не з’яўляецца дастатковай умовай яе інтэгравальнасці.

Прыклад. Функцыя Дзірыхле

з’яўляецца абмежаванай для "xÎ [a, b], але дакажам, што яна не з’яўляецца інтэгравальнай на [a, b].

Зробім Т – разбіўку адрэзк [a, b].

Няхай xk Î Q, I(T, f, xk) = = 1× (b - a). Калі xk ÎІ, то

I(T, f, xk) = = 0. Þ не існуе. Такім чынам залежыць ад выбара пункта xk, што супярэчыць азначэнню (3), а з гэтага вынікае, што функцыя Дзірыхле не з’яўляецца інтэгравальнай на [a, b].

§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці

п°1. Паняцце сум Дарбу

Няхай на адрэзку [a, b] азначана непарыўная функцыя f. Па І т. Вайерштраса яна абмежаваная на ім, а г. зн. абмежаваная на кожным частковым адрэзку.

Выканаем Т –разбіўку адрэзка пунктамі а = хо< х1 < …< хk < …< хn = b, адрэзак [xk-1, хk] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т. Па ІІ т. Вайерштраса на кожным частковым адрэзку існуюць дакладная ніжняя і верхняя межы мноства значэнняў функцыі f : mk = inf{f(x)}, Mk = sup{f(x)}.

Азначэнне 1. Сумы:

s = m1×Dx1 + m2×Dx2 + …+mk×Dxk + … + mn×Dxn = (1)

i S = M1×Dx1 + M2×Dx2 + …+ Mk×Dxk + … + Mn×Dxn = (2)

называюцца адпаведна ніжняй і верхняй сумамі Дарбу функцыі f разбіўкі Т адрэзка [a, b].

Паколькі f непарыўная функцыя, то s i S – інтэгральныя сумы.