Глава 2. Вызначаны інтэграл (стр. 4 )

Тэарэма 2 (у тэрмінах кубавальных целаў). Для таго, каб цела G было кубавальным, неабходна і дастаткова каб існавалі дзве паслядоўнасці кубавальных целаў (Pn) i (Qn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць цела G такія, што . (без доказа)

§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў

п°1. Аб'ём прамога цыліндра

Азначэнне 1. Прамым цыліндрам называецца цела, абмежаванае цыліндрычнай паверхняй, дзвюмя паралельнымі плоскасцямі; утваральная (образующая) паверхні перпендыкулярна гэтым плоскасцям, а самі плоскаці пры перасячэнні з паверхняй утвараюць некаторыя крывыя, якія называюцца кіроўнымі (направляющими). Фігуры, абмежаваныя гэтымі крывымі – асновы цыліндра.

Заўвага. Кіроўнымі могут быць розныя крывыя другога парадку.

Тэарэма 1. Прамы цыліндр – кубавальнае цела, а яго абўём вылічваецца па формуле: V(G) = S(P)×H (1), дзе Р – квадравальная фігура, S(P) – плошча фігуры Р, Н – вышыня цыліндра. (без доказу)

п°2. Аб'ём С-цела

Разгледзім цела G, якое заключана паміж плоскасцямі x = a, x = b, перпендыкулярнымі восі Ох, такое, што :

1) у сечывах гэтага цела плоскасцямі, якія праходзяць праз любыя пункты x Î [a, b] ^ восі Ох, атрымліваюцца квадравальныя фігуры, плошчы якіх S(x);

2) S(x) непарыўная на [a, b] функцыя;

3) дзве праекцыі любых двух сечываю цела G умяшчаюцца адна ў адной.

Азначэнне 2. Цела, якое мае пералічаныя ўласцівасці будзем называць С – целам.

Прыклады.

Тэарэма 2. С – цела – кубавальнае цела і яго аб’ем можна вылічыць па формуле: . (2)

€

Заўвага 1. Формула (2) даёт магчымасць знайсці аб’ём цела праз плошчу папярэчнага сечыва.

Задача 1. Знайсці аб’ём піраміды з вышыней Н і асновай Р.

Задача 2. Знайсці формулу для вылічэння аб’ему цела абароту.

Задача 3. Знайсці аб’ём конуса.

§13. Даўжыня дугі крывой

п°1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах

Няхай крывая АВ задана раўнаннем y = f(x), x Î [a, b], f(x) непарыўная на адрэзку [a, b] функцыя. Крывая АВ не мае пунктаў самаперасячэння.

Падзелім АВ пунктамі: A = Mo, M1,…, Mk, Mk+1,…, Mn = B. Злучым іх хордамі. Атрымаем ламаную, якая мае перыметр р. Найбольшы з яе звеньяў абазначым m.

Азначэнне 1. Калі існуе концавы ліміт l перыметра р упісанай ў крывую ламанай пры m® 0: , то ён называецца даўжынёй крывой АВ.

Крывую, даўжыня якой існуе, называюць выпрастальнай (спрямляемой).

Тэарэма 1. Калі функцыя f(x) непарыўная разам са сваёй вытворнай f¢(x) на адрэзку [a, b], то крывая АВ выпрастальная і яе даўжыня можа быць падлічана па формуле:

(1)

€ Бохан і др. Гл. Х, §2.

Няхай крывая АВ задана параметрычна формуламі . (2)

Функцыі j(t) і y(t) непарыўныя разам са сваімі вытворнымі на адрэзку [a, b], j¢(t) ¹ 0, функцыя j(t) манатонная на адрэзку [a, b], таму яна мае адваротную функцыю t = v(x) манатонную і непарыўную на адрэзку [a, b], дзе a = j(a), b = j(b), мае непарыўную вытворную v’(x) = . Тады функцыя y = y(t) = y( v(x)) = f(x) непарыўная як складаная ад непарыўных функцый на адрэзку [a, b] разам са свёю вытворнай f ’(x). Вядома, што для функцыі, заданай параметрычна (3); dx = d(j(t)) = j’(t)dt. Падставім роўнасць (3) у формулу (1) Þ (4)

Формула (4) – формула даўжыні дугі, якая задана параметрычна.

п°2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах

Няхай крывая АВ задана ў палярных каардынатах раўнаннем r = f(j) "j Î [a, b]. Функцыя f(j) мае непарыўную вытворную f’(j) на адрэзку [a, b]. Пунктам А і В адпавядаюць пункты a і b. Скарыстаем формулы пераходу

. Атрымалі параметрычнае заданне крывой АВ з параметрам j. Знойдзем xj’ i yj’, падставім іх у формулу (4).

Формула (5) - формула даўжыні дугі ў палярных каардынатах.

Заўвага. Падынтэгральны выраз у формулах (1, 4, 5) называецца дыферэнцыялам дугі.

§14. Плошча паверхні абароту

Няхай на адрэзку [a, b] азначана непарыўная, дадатная, дыферэнцавальная функцыя y = f(x), графікам якой з’яўляецца крывая АВ. Пры абароце крывой АВ вакол восі Ох атрымаецца паверхня, якую называюць паверхняй абароту.

Зробім разбіўку адрэзка [a, b] пунктамі а = хо< х1 < …< хn = b,

Dхk = xk - хk-1, l = max { Dхk }, k = 0,1,2,….

Адпаведна крывая АВ разабьёцца пунктамі Mk(xk, f(xk)). Злучым пункты хордамі і атрымаем ламаную. Пры абароце яе вакол восі Ох атрымае паверхню Pn, якая з’яўляецца аб’яднаннем паверхняў ссечаных конусаў і цыліндраў, паверхні якіх вылічваюцца па адной з формул: Sc. к. = p(r1 + r2)×l;

Sц. = 2pr×l.

Азначэнне 1. Плошчай паверхні абароту будзем называць концавы ліміт плошчы абароту ламанай, калі l®0: . (1)

Азначэнне 2. Калі існуе концавы ліміт (1), то паверхня называецца квадравальнай.

Тэарэма 1. Калі функцыя f(x) непарыўная разам са саей вытворнай на адрэзку [a, b], паверхня абароту графіка функцыі f(x) квадравальная, то плошчу паверхні абароту можна вылічыць па формуле:

або . (2)

€ Бохан і др. Гл. Х, §4.

Вынік 1. Няхай функцыя f(x) задана параметрычна формуламі . j(t), y(t), j’(t) , y’(t) непарыўныя на адрэзку [a, b] функцыі, j’(t) ¹0, то (3)

Вынік 2. Няхай крывая АВ – графік функцыі f(x) задана ў палярных каардынатах раўнаннем r = f(j) "j Î [a, b]. Функцыя f(j) мае непарыўную вытворную f’(j) на адрэзку [a, b]. Пунктам А і В адпавядаюць пункты a і b. Скарыстаем формулы пераходу

. Атрымалі параметрычнае заданне крывой з параметрам j. Тады . (4)

Прыклады.

§15. Неўласцівыя інтэгралы

п°1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных

прамежках (інтэгралы І роду)

Няхай функцыя f(х) азначаная і непарыўная на прамежку [a,+¥). Зафіксуем пункт bÎ[a,+¥). Тады існуе інтэгра Рымана на адрэзку [a, b],

Азначэнне 1. Калі існуе канічны ліміт (1), то ён называецца неўласцівым інтэгралам І роду функцыі f(x) на прамежку [a,+¥) і абазначаецца (2):

. (3)

Калі ліміт (1) існуе, то неўласцівы інтэграл збягаецца, калі не існуе або роўны ¥, то інтэграл (2) не існуе або разбежны.

Аналагічна азначаецца інтэграл на прамежках ( - ¥; b] i ( - ¥; + ¥):

= + .

Паколькі неўласцівы інтэграл азначаецца праз вызначаны інтэграл, то ён захоўвае ўсе ўласцівасці інтэграла Рымана.

Прыклады.

Заўвага 1. Няхай на прамежку [a,+¥) азначаная непарыўная неадмоўная функцыя f(х). Разгледзім фігуру, абмежаваную прамой х = а, воссю Ох і графікам функцыі f(х). Зафіксуем пункт b Î[a,+¥) . Вядома, што - плошча фігуры Авbа (4). Але S(P) = = .

Геаметрычны сэнс інтэграла (2): калі інтэграл (2) збежны, то фігура (4) квадравальная і яе плошча роўна значэнню інтэграла (2).

Прыклад.

п°2. Прыкметы збежнасці неўласцівага інтэграла І роду

Тэарэма 1 (прыкмета параўнання). Няхай функцыі f i g непарыўныя на прамежку [a,+¥) і "хÎ[a,+¥) 0 £ f(x) £ g(x). Тады са збежнасці Þ збежнасць , а з разбежнасці Þ разбежнасць .

Прыклад.

Тэарэма 2. Калі збягаецца (А), то збягаецца інтэграл (В). Інтэграл (В) называецца абсалютна збежным.

Прыклад.

Тэарэма 3(частковая прыкмета параўнання). Калі функцыя f(x)³ 0 бясконца малая парадку l > 0 па параўнанню з функцыяй 1/x, то збежны пры l > 1 і разбежны пры 0 £ l £ 1.

Прыклад.

п°3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый

(інтэгралы другога роду)

Няхай функцыя f азначана на прамежку (a, b], а на адрэзку [a+e, b], дзе 0 < e < b-a, функцыя f інтэгравальная. Пункт х = а будзем называць асаблівым пунктам (особым), калі функцыя f неабмежаваная на прамежку (a, b], а абмежаваная на любым адрэзку [a+e, b].

Азначэнне 2. Калі існуе канечны ліміт (5), то ён называецца неўласцівым інтэгралам ІІ рода ад функцыі f(x) і абазначаецца:

(6). У гэтым выпадку інтэграл (6) збежны. Калі ліміт (5) не існуе або роўны ¥, то інтэграл (6) разбежны.

Аналагічна ўводзіцца паняцце неўласцівага інтэграла для выпадкаў:

1)  калі x = b – асаблівы пункт, то ;

2)  калі х = с - асаблівы пункт, дзе с Î[a, b], то

= +.

п°4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў ІІ роду

Тэарэма 4 (прыкмета параўнання). Няхай функцыі f i g неабмежаваныя ў наваколлі пункта b і "хÎ[a, b) 0 £ f(x) £ g(x). Тады са збежнасці Þ збежнасць , а з разбежнасці Þ разбежнасць .

Прыклад.

Тэарэма 2. Няхай функцыя f(x) неабмежаваная ў наваколлі пункта b. Калі збягаецца (А), то збягаецца інтэграл (В). Інтэграл (В) называецца абсалютна збежным.

Прыклад.