Практическое занятие 3 Дифференцирование сложной и неявной функции (стр. 2 )

Замечание. Условие , является достаточным, но не необходимым условием существования в некоторой окрестности точки единственной неявной функции , определяемой уравнением (1).

Неявная функция двух независимых переменных определяется уравнением , связывающим три переменные. Справедлива теорема, аналогичная приведенной выше.

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) ;

2) ;

3) , и непрерывны в некоторой окрестности точки .

Тогда существует единственная функция определенная в некоторой -окрестности точки , удовлетворяющая уравнению , такая, что .

Замечание. Пусть условия 1–3 теоремы 1 выполнены и уравнение (1) определяет как некоторую функцию от . Если в это уравнение подставить вместо функцию , то получим тождество

.

Продифференцируем данную функцию по правилу дифференцирования сложной функции:

.

Тогда .

Теорема 3. Пусть 1) функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки ; 2) частная производная непрерывна в точке ; 3) , . Тогда существует такой прямоугольник

,

в котором уравнение определяет единственную неявную функцию вида , причем . Функция дифференцируема на интервале , и ее производная вычисляется по формуле

. (2)

Замечания. 1. В формуле важен порядок действий при вычислении : сначала берется частная производная по функции , а затем вместо подставляется , но не наоборот.

2. Пусть уравнение определяет как некоторую функцию независимых переменных и . Если в это уравнение вместо подставить получается тождество . Тогда

, .

3. Если уравнение поверхности задано неявной функцией , то:

, .

Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид

и каноническое уравнение нормали:

.

Неявные функции, определяемые системой уравнений. Рассмотрим систему из уравнений

(3)

Решение этой системы относительно , , , есть

(4)

и называется совокупностью неявных функций, определяемых системой уравнений (3).

Определитель

, (5)

составленный из частных производных, называется определителем Якоби (якобианом) функций , , , по переменным , , , .

Теорема 5. Пусть 1) функции , , , дифференцируемы в некоторой -окрестности точки

,

2) частные производные , непрерывны в ,

3) , , , , .