Практическое занятие 3 Дифференцирование сложной и неявной функции (стр. 6 )

, ,, – функция дифференцируется сначала по , а затем по ;

, ,, – функция дифференцируется последовательно два раза по переменной .

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . В результате получим восемь частных производных третьего порядка:

, , , , , , ,.

Таким образом, частная производная от производной -го порядка называется частной производной -го порядка и обозначается , , и т. д.

Частные производные высших порядков функции , взятые по различным переменным, например , , , , называются смешанными производными.

Среди частных производных второго порядка функции имеются две смешанные производные и . Возникает вопрос: зависит ли результат дифференцирования функций нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным.

Теорема 1. Если функция и ее частные производные , , , определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то

.

Замечание. Все приведенные выше рассуждения, а также теорема 1 имеют место и для функции любого числа переменных.

Дифференциалы высших порядков. Пусть – функция двух независимых переменных и , дифференцируемая в области . Придавая и приращения , , в любой точке можно вычислить полный дифференциал

,

который называют дифференциалом первого порядка функции .

Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается

.

Найдем аналитическое выражение для , считая и постоянными:

.

Поступая аналогично, получаем аналитическое выражение для дифференциала третьего порядка :

.

И так далее.

Функция называется раз непрерывно дифференцируемой в области , если для нее существует -ый дифференциал в этой области.

Обозначается: .

Замечания. 1. Аналитические выражения для , и кратко записывают в виде следующих символических формул:

,

,

.

Тогда и для любого справедливо соотношение

,

причем правая часть этого равенства раскрывается формально по биномиальному закону.

2. Если – дифференцируемая функция промежуточных аргументов и , которые, в свою очередь, являются дифференцируемыми функциями и , то , . Следовательно, можно получить новые выражения для , , …. Следовательно, приведенные выше формулы дифференциалов не являются инвариантными для сложных функций.

Формула Тейлора для функции двух переменных.

Теорема 1 (Тейлора). Пусть функция двух переменных непрерывна со всеми частными производными до порядка включительно в некоторой -окрестности точки . Тогда справедлива формула Тейлора для функции двух переменных