Практическое занятие 3 Дифференцирование сложной и неявной функции (стр. 1 )

Практическое занятие 3

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И

НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

1. Дифференцирование сложной функции.

2. Дифференцирование неявной функции, задаваемой одним уравнением.

3. Системы неявных и параметрически заданных функций.

Пусть – функция двух переменных и , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных и , т. е. , . Тогда – сложная функция двух независимых переменных и , а переменные и – промежуточные переменные.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , а функции и дифференцируемы в точке , то сложная функция , где ; , дифференцируема в точке , причем ее частные производные вычисляются по формулам:

,

.

Для функции трех переменных , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных , , т. е. , , и частные производные вычисляются по формулам

,

,

.

Аналогично для функции , , переменных.

Частные случаи задания сложной функции .

1. Пусть , , , .

Тогда , является сложной функцией только двух аргументов, и, значит, имеем две частные производные , .

2. Пусть , , .

Тогда – функция одной переменной . Найдем по общей формуле дифференцирования сложной функции:

.

Так как и – функции только одной переменной , то их частные производные обращаются в обыкновенные производные. Кроме того, .

Следовательно,

.

Производная сложной функции называется полной производной.

Между частной и полной производными имеется существенное различие. Полная производная – это обыкновенная производная от как функции , а есть частная производная от по переменной , входящей в выражение функции непосредственно, т. е. при условии, что другие переменные ( и зависящие от , при дифференцировании остаются постоянными).

Неявные функции, задаваемые одним уравнением. Функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные и :

. (1)

Возникает вопрос, при каких условиях уравнение определяет одну из переменных как функцию другой.

Теорема 1 (существование неявной функции). Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) существует точка , в которой ;

2) ;

3) функции и непрерывны в некоторой окрестности точки .

Тогда существует единственная функция определенная на некотором интервале, содержащем точку , и удовлетворяющая при любом из этого интервала уравнению , такая, что .