Практическое занятие 3 Дифференцирование сложной и неявной функции (стр. 4 )

Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Вычислим частные производные функции в точке :

, ,

, ,

, .

Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид или .

Уравнение нормали или .

Так как проекция направляющего вектора нормали на ось равна нулю, то нормаль перпендикулярна к оси , а касательная плоскость параллельна этой оси.

7. Функции и независимых переменных и заданы неявно системой уравнений

Найти , , , .

Решение. Для данной системы имеем

Якобиан системы имеет вид

,

при этом 0 при .

Дифференцированием находим два уравнения, связывающих дифференциалы четырех переменных

Решая эту систему относительно , при , получим

,

.

Дифференцируя повторно, имеем

,

.

8. Найти и , если

, , .

Решение. Имеем

при .

Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:

, , .

Из первых двух уравнений находим :

.

Подставим в третье уравнение, получим

.

Отсюда

и .

9. Доказать, что функции и независимы в любой окрестности точки .

Решение. Составим якобиан функций и по переменным и

.

В точке якобиан равен нулю . Для любой точки , где , из окрестности точки якобиан отличен от нуля . Согласно теореме 6, функции и независимы в окрестности точки .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЙ РАБОТЫ

1. Найти , если

1) , где , ;

2) , где , .

2. Найти , если , где .

3. Найти , если , где , .

4. Дана дифференцируемая функция , где , . Выражение

представить в полярных координатах.

5. Найти , если , где , .