Вопросы по линейной алгебре.
1. Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве. Косоугольные системы координат.
2. Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве.
3. Деление отрезка в заданном отношении.
4. Полярная система координат. Сферическая система координат.
5. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.
6. Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота.
7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка.
8. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.
9. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых.
10. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.
11. Угол между двумя прямыми.
12. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
13. Уравнение прямой в отрезках на осях.
14. Общее уравнение прямой на плоскости.
15. Решение неравенств на плоскости.
16. Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности.
17. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса и его свойства.
18. Парабола. Каноническое уравнение параболы и его свойства.
19. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы и его свойства.
20. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как алгебраические линии второго порядка и как сечения конуса.
21. Геометрический вектор (длина вектора, нуль-вектор, равенство геометрических векторов, коллинеарность и компланарность). Координатные орты.
22. Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического вектора и его запись с помощью знака суммы. Знак суммирования и его свойства.
23. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.
24. Действия с геометрическими векторами в координатной форме.
25. Признак коллинеарности векторов.
26. Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства.
27. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами.
28. Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических векторов.
29. Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.
30. Общее уравнение плоскости в пространстве.
31. Решение неравенств на плоскости.
32. Расстояние от точки до плоскости.
33. Векторное произведение векторов и его свойства.
34. Запись векторного произведения векторов с помощью определителя.
35. Смешанное произведение векторов.
36. Решение систем линейных уравнений с помощью векторного произведения.
37. Матрицы и их классификация. Действия с матрицами. Экономические примеры.
38. Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и «звёздочки».
39. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Определитель произвольного порядка.
40. Свойства определителя. Терема об определителе произведения квадратных матриц.
41. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.
42. Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
43. Транспонирование и его свойства.
44. Система линейных уравнений и её решение.
45. Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений.
46. Однородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и неопределенная система. Матричная запись системы линейных уравнений.
47. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.
48. Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений.
49. Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
50. Формулы Крамера.
51. Линейное (векторное) пространство. Линейное подпространство.
52. Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве.
53. Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.
54. Базис линейного пространства. Примеры.
55. Теорема о разложении вектора по базису.
56. Линейная оболочка векторов.
57. Векторное представление системы линейных уравнений.
58. Теорема Кронекера-Капелли.
59. Критерий линейной зависимости векторов в пространстве Rn.
60. Евклидовое пространство.
61. Нормируемое пространство.
62. Ортогональное дополнение и его свойства.
63. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое уравнение.
64. Линейная функция. Билинейная форма. Квадратичная форма.
65. Изотропный вектор и знакоопределённость квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий знакоопределённости квадратичной формы.
66. Линейная балансовая модель.
67. Модель международной торговли.
68. Линейные операторы как отображения. Образ и ядро линейного оператора.
69. Взаимно однозначные отображения.
70. Произведение операторов. Обратный оператор.
71. Теорема о представлении оператора в виде матрицы.
Примерные задачи на экзамене в группах ЭВ1501 – 1504:
Исследовать и решить систему при разных параметрах λ:
2. Найти ядро оператора 
, если:
Разложить произвольный вектор системы S, не входящий в базис, по найденному базису.
Дана квадратичная форма:a(x, x)=2x12 +3 x1x2-4 x1,x3 +2 x3x2+12 x22 +8 x32
Найти матрицу квадратичной формы. Выяснить, является ли эта квадратичная форма знакоопределённой.
Известна таблица межотраслевых потоков№ отрасли | Потребление | Конечный продукт | |
I | II | ||
1. | 20 | 50 | 30 |
2. | 30 | 10 | 10 |
Требуется найти валовый вектор продукции, полные затраты труда и капиталовложений, если задан вектор-план y=(200, 100).
6. Дана матрица обмена в простой модели обмена: 
. Найти равновесный вектор цен.
