Имеется много приборов с неравноточной (неравномер­ной) шкалой. В таких приборах абсолютная погрешность растет с увеличением показания прибора. Скорость этого роста может быть различной. Существуют, например, логарифмические шкалы; это значит, что шкала прибора равномерна относительно логарифмов показаний стрелки, т. е. одинаковы расстояния между отметками 1; 10; 100 и т. д.).

Найдем, какой должна быть функция скорости роста цены деления шкалы, чтобы относительная ошибка вдоль всей шкалы была одной н той же.

Рассмотрим деление с отметкой у. Предположим, что ошибка в определении расстояний по шкале составляет . Скорость изме­нения цены деления у с длиной шкалы х характеризуется величи­ной . Если интервал достаточно мал, чтобы в пределах этого интервала производная была практически постоянна, то величина представляет собой абсолютную погрешность в точке . Относительная погрешность будет равна

.

Отсюда

; ; ; ,

т. е.

.

Таким образом, равномерной в смысле постоянства относительной ошибки является логарифмическая шкала.

3. Правила округления чисел. Количество верных знаков

Любое число при его десятичной записи может быть представ­лено в виде

, (12)

где и т. д. – цифры, стоящие в соответствующих местах (десятичных разрядов) числа , - показатель степени, характеризующий высший десятичный разряд числа (порядок числа).

Если мы прервем число А на каком-то разряде (например, т—п+1), то мы получим приближенное число а, состоящее из п значащих цифр. Значащими цифрами любого числа называют все цифры 1,2, 3, ..., 9, входящие в это число, а также нуль, если он стоит в середине числа или справа. В последнем случае нуль (или нули) должен соответствовать нулевым значениям в точном числе А или в приближенном числе а. Если нули служат только для обозна­чения десятичного разряда, то они значащими числами не счи­таются.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рекомендуется такая запись приближенных чисел, в которую входили бы только значащие цифры. Эта форма записи часто облегчает расчеты, особенно в случае чисел с боль­шим количеством десятичных разрядов при значительно меньшем количестве значащих цифр. Принцип записи состоит в том, что все незначащие нули, стоящие справа или слева в данном числе и обозначающие десятичные разряды, представляются в виде целых положительных или отрицательных степеней десяти.

Например, . Здесь значащими цифрами являются 3 и 6. Если для числа Авогадро пишут , то здесь значащими цифрами являются 6; 0; 2 и 3.

Первые п десятичных знаков приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого приближенного числа не превышает 0,5 единицы низшего сохра­ненного разряда (n-го разряда, если считать выс­ший разряд первым), т. е. соблюдается условие

. (13)

Величина ' является в данном случае абсолютной предельной погрешностью .

Для того чтобы удовлетворить этому определению, округление чисел производят по правилу дополнения. Это правило можно сформули­ровать следующим образом.

Пусть после округления в числе должно остаться п значащих цифр. Тогда:

·  если отбрасываемая (n+1)-я цифра меньше 5, то остающаяся n-я цифра не меняется;

·  если отбрасываемая (n+1)-я цифра больше 5, то остающаяся n-я цифра увеличивается на 1;

·  если отбрасываемая (n + 1)-я цифра равна 5, то возможны два случая:

1.  среди отбрасываемых цифр, кроме цифры 5, есть другие, отличные от нуля (в этом случае остающаяся n-я цифра увеличивается на 1);

2.  все остальные отбрасываемые цифры, кро­ме цифры 5, являются нулями (в этом случае остающуюся n-ю цифру увеличивают на 1, если она нечетная, и оставляют без изменения, если она четная).

Для правильно округленного числа (т. е. такого, для которого абсолютная погрешность определяется нера­венством (13)) с п верными знаками при относительная погрешность определяется неравенством

, (14)

где - первая (левая) значащая цифра этого числа.

Предельная относи­тельная погрешность определяется равенством

. (15)

Предельную абсолютную погрешность можно определить по приближенной формуле

, (16)

исходя из того, что . Но только заведомо увеличили число (и тем самым величину ), отбросив все значащие цифры, кро­ме и прибавив к последней 1.

Количество верных знаков в числе, если известна его относи­тельная погрешность (не предельная), можно определить следую­щим образом. Пусть . Тогда по формуле (16)

. (17)

В правой части неравенства заменено на 10. Таким об­разом, число а содержит заведомо п верных знаков.

4. Погрешности результатов основных арифметических действий

При сложении приближенных чисел предельная абсолютная погрешность равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых

, (18)

где

и .

Предельная относительная погрешность суммы приближенных чисел определяется по формуле

, (19)

где

, и .

Относительные погрешности слагаемых в общем случае различны, и можно найти пределы, в которых заключена относительная погрешность суммы. По определению

.

Пусть среди погрешностей есть максимальная и минимальная . Тогда, если заменить сначала все на , а потом на , то получим соотношение

. (20)

Таким образом, предельная относительная погрешность суммы нескольких приближенных чисел не может быть больше, чем наибольшая из относительных ошибок слагаемых.

Правило для погрешности суммы приближенных чисел одного и того же знака можно распространить на случай алгебраической суммы приближенных чисел. Таким образом, предельная абсолютная погрешность разности двух чисел будет равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4