Лабораторная работа №5 «Действия над приближенными величинами» (стр. 1 )

Лабораторная работа №5

«Действия над приближенными величинами»

Цель: научиться использовать MatLab для работы с приближенными величинами и оценки погрешностей.

1. Введение

Подавляющее большинство используемых при расчетах вели­чин является величинами приближенными: атомные веса и значе­ния термодинамических функций, все измеримые физические свой­ства и все рассчитанные из них характеристики. Более того, почти все чисто математические константы (например, , ), а также результаты математических операций (логарифмы чисел, тригоно­метрические функции, корни, степени и просто дроби в десятичной системе счисления) являются числами, для которых принципиально не может быть найдено точное значение, а поэтому приходится ограничиваться некоторым количеством десятичных знаков, что, естественно, вносит ошибку. Даже те величины, для которых мо­жет быть получено в принципе точное значение, часто приводятся с сокращенным числом десятичных знаков, т. е. также превра­щаются в приближенные числа. Таким образом, во всех расчетах приходится поль­зоваться приближенными числами. Поэтому важно знать правила обращения с прибли­женными числами при разного рода расчетах и способ оценки погрешности приближенного числа.

2. Абсолютная и относительная погрешность

Для того чтобы охарактеризовать отклонение приближенного значения какой-то величины от ее истинного значения, вводят понятия абсолютной и относительной погрешностей, отвлекаясь от конкретного источника погрешности. Главная трудность здесь заключается в том, что в большинстве случаев истинное (или точ­ное) значение рассматриваемой величины неизвестно.

Пусть - точное (в общем случае нам не известное) значение какой-то величины и а - ее приближенное значение. Абсолют­ной ошибкой, или погрешностью величины а назовем разность

. (1)

Поскольку обычно знак погрешности неизвестен, целесообразно определить погрешность , равную абсолютному зна­чению разности

или . (2)

Как правило, когда говорят об абсолютной погрешности прибли­женного числа а, имеют в виду , а не .

Предельная абсолютная погрешность опре­деляется неравенством

или . (3)

Таким образом, истинное значение заведомо лежит в пределах

, (4)

где - приближенная величина. Выбор величины в значитель­ной степени произволен, хотя практически удобно по возможности сузить интервал, в котором заключена величина А, т. е. выбрать наименьшее значение величины . Из приведенных соотношений видно, что и , имеют размерность тех величин, погрешность ко­торых они определяют.

Характеристика точности приближенного числа , даваемая величинами или , недостаточна. Если предельная абсолютная погрешность , характеризующая изме­рения, одна и та же, а измеряемая величина в одном случае рав­на , а в другом , то, очевидно, во втором случае резуль­тат обладает большей относительной точностью, чем в первом.

Например, если измерение температуры производится термометром с точностью и измерены температуры и , то экспериментальный уровень во втором случае значи­тельно выше, чем в первом, хотя абсолютная ошибка в обоих слу­чаях одинакова.

Для того чтобы характеризовать относительную точность изме­рения, зависящую от измеряемой величины, вводится относи­тельная погрешность , которая определяется равенством

или . (5)

Подобно тому, как было введено понятие предельной абсолютной погрешности, вводится понятие предельной относительной погрешности , которая должна быть заведомо больше истинной относительной погрешности и определяется неравенством

или , (6)

где - абсолютная (не предельная) погрешность. Удобно выбрать предельную абсолютную погрешность так, чтобы приведенное выше неравенство превратилось в равенство, т. е.

или , (7)

где - абсолютная предельная погрешность, - относительная предельная погрешность.

Во все формулы входит однако неизвестная величина , кото­рая делает невозможным численное определение погрешности. Практически поступают так: поскольку всегда стараются прово­дить измерения с наибольшей возможной точностью, то в очень многих случаях можно считать, что абсолютная погрешность много меньше самой приближенной величины, т. е. и или . Для таких достаточно точных измерений приведенные выше соотношения можно приближенно записать следующим образом:

и . (8)

Исходя из определений абсолютной и относительной погрешности, можно записать

(9)

и т. к. , то . (10)

Если, как описано выше, расширить границы, в которых лежит точное значение А, то можно написать

. (11)

Относительная погрешность, в отличие от абсолютной, является величиной безразмерной. Часто ее выражают в процентах.

Пример. Пусть проводятся измерения напряжение вольтметром, шкала которого разбита на деления от 0 до 300 вольт через 3 вольта, причем расстояние между последовательными делениями всюду одинаково. Такая шкала называется равномерной или линейной. На глаз мож­но оценить положение стрелки во всяком случае с точностью до половины расстояния между делениями (т. е. =1,5 вольта). Следова­тельно, относительная погрешность в расчете на всю шкалу равна

.

Однако фактически измерения, проводимые на разных участках шкалы, неравноточны, хотя и имеют одинаковую абсолютную по­грешность. Пусть нам нужно провести измерение напряжения с относительной погрешностью не более 2%. Легко указать участок шкалы, на котором можно получить такую точность. Действи­тельно,

вольт.

Таким образом, с этой точностью можно измерить напряжение только начиная от 75 вольт и выше. Для измерения меньших напряже­ний с точностью 2% нужно взять другой прибор.